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# 2.8\. 收敛协方差

## 2.8.1\. 基本收敛

尽管是协方差矩阵的无偏估计， 最大似然估计不是协方差矩阵的特征值的一个很好的估计， 所以从反演得到的精度矩阵是不准确的。 有时，甚至出现数学原因，经验协方差矩阵不能反转。 为了避免这样的反演问题，引入了经验协方差矩阵的一种变换方式：`shrinkage` 。

在 scikit-learn 中，该变换（具有用户定义的收缩系数） 可以直接应用于使用 [`shrunk_covariance`](generated/sklearn.covariance.shrunk_covariance.html#sklearn.covariance.shrunk_covariance "sklearn.covariance.shrunk_covariance") 方法预先计算协方差。 此外，协方差的收缩估计可以用 [`ShrunkCovariance`](generated/sklearn.covariance.ShrunkCovariance.html#sklearn.covariance.ShrunkCovariance "sklearn.covariance.ShrunkCovariance") 对象 及其 [`ShrunkCovariance.fit`](generated/sklearn.covariance.ShrunkCovariance.html#sklearn.covariance.ShrunkCovariance.fit "sklearn.covariance.ShrunkCovariance.fit") 方法拟合到数据中。 再次，根据数据是否居中，结果会不同，所以可能要准确使用参数 `assume_centered` 。

在数学上，这种收缩在于减少经验协方差矩阵的最小和最大特征值之间的比率。 可以通过简单地根据给定的偏移量移动每个特征值来完成， 这相当于找到协方差矩阵的l2惩罚的最大似然估计器（l2-penalized Maximum Likelihood Estimator）。在实践中，收缩归结为简单的凸变换： ![\Sigma_{\rm
shrunk} = (1-\alpha)\hat{\Sigma} + \alpha\frac{{\rm
Tr}\hat{\Sigma}}{p}\rm Id](img/8f62a01deaf67a7f9960d853abd9dcca.jpg).

选择收缩量， ![\alpha](img/d8b3d5242d513369a44f8bf0c6112744.jpg) 相当于设置偏差/方差权衡，下面将讨论。

示例:

*   See [Shrinkage covariance estimation: LedoitWolf vs OAS and max-likelihood](../auto_examples/covariance/plot_covariance_estimation.html#sphx-glr-auto-examples-covariance-plot-covariance-estimation-py) for an example on how to fit a [`ShrunkCovariance`](generated/sklearn.covariance.ShrunkCovariance.html#sklearn.covariance.ShrunkCovariance "sklearn.covariance.ShrunkCovariance") object to data.

## 2.8.2\. Ledoit-Wolf 收敛

在他们的 2004 年的论文 [[1]](#id6) 中， O.Ledoit 和 M.Wolf 提出了一个公式， 用来计算优化的收敛系数 ![\alpha](img/d8b3d5242d513369a44f8bf0c6112744.jpg) ， 它使得估计协方差和实际协方差矩阵之间的均方差进行最小化。

在 <cite>sklearn.covariance</cite> 包中，可以使用 [`ledoit_wolf`](generated/sklearn.covariance.ledoit_wolf.html#sklearn.covariance.ledoit_wolf "sklearn.covariance.ledoit_wolf") 函数来计算样本的 基于 Ledoit-Wolf estimator 的协方差， 或者可以针对同样的样本 通过拟合 [`LedoitWolf`](generated/sklearn.covariance.LedoitWolf.html#sklearn.covariance.LedoitWolf "sklearn.covariance.LedoitWolf") 对象来获得。

例子:

*   See [Shrinkage covariance estimation: LedoitWolf vs OAS and max-likelihood](../auto_examples/covariance/plot_covariance_estimation.html#sphx-glr-auto-examples-covariance-plot-covariance-estimation-py) 关于如何将 [`LedoitWolf`](generated/sklearn.covariance.LedoitWolf.html#sklearn.covariance.LedoitWolf "sklearn.covariance.LedoitWolf") 对象与数据拟合， 并将 Ledoit-Wolf 估计器的性能进行可视化的示例。

参考文献:

| [[1]](#id5) | O. Ledoit and M. Wolf, “A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices”, Journal of Multivariate Analysis, Volume 88, Issue 2, February 2004, pages 365-411. |

## 2.8.3\. Oracle 近似收缩

在数据为高斯分布的假设下，Chen et al. 等 [[2]](#id8) 推导出了一个公式，旨在 产生比 Ledoit 和 Wolf 公式具有更小均方差的收敛系数。 所得到的估计器被称为协方差的 Oracle 收缩近似估计器。

在 <cite>sklearn.covariance</cite> 包中， OAS 估计的协方差可以使用函数 [`oas`](generated/sklearn.covariance.oas.html#sklearn.covariance.oas "sklearn.covariance.oas") 对样本进行计算，或者可以通过将 [`OAS`](generated/sklearn.covariance.OAS.html#sklearn.covariance.OAS "sklearn.covariance.OAS") 对象拟合到相同的样本来获得。

[![http://sklearn.apachecn.org/cn/0.19.0/_images/sphx_glr_plot_covariance_estimation_0011.png](img/7f37b8cd4340f3d0981f518f14670c26.jpg)](../auto_examples/covariance/plot_covariance_estimation.html)

设定收缩时的偏差方差权衡：比较 Ledoit-Wolf 和 OAS 估计量的选择

参考文献:

| [[2]](#id7) | Chen et al., “Shrinkage Algorithms for MMSE Covariance Estimation”, IEEE Trans. on Sign. Proc., Volume 58, Issue 10, October 2010. |

示例:

*   See [Shrinkage covariance estimation: LedoitWolf vs OAS and max-likelihood](../auto_examples/covariance/plot_covariance_estimation.html#sphx-glr-auto-examples-covariance-plot-covariance-estimation-py) for an example on how to fit an [`OAS`](generated/sklearn.covariance.OAS.html#sklearn.covariance.OAS "sklearn.covariance.OAS") object to data.
*   See [Ledoit-Wolf vs OAS estimation](../auto_examples/covariance/plot_lw_vs_oas.html#sphx-glr-auto-examples-covariance-plot-lw-vs-oas-py) to visualize the Mean Squared Error difference between a [`LedoitWolf`](generated/sklearn.covariance.LedoitWolf.html#sklearn.covariance.LedoitWolf "sklearn.covariance.LedoitWolf") and an [`OAS`](generated/sklearn.covariance.OAS.html#sklearn.covariance.OAS "sklearn.covariance.OAS") estimator of the covariance.

[![http://sklearn.apachecn.org/cn/0.19.0/_images/sphx_glr_plot_lw_vs_oas_0011.png](img/bc35316fd422689a9bc65845d63c1433.jpg)](../auto_examples/covariance/plot_lw_vs_oas.html)
{% endraw %}