ch12pic

12.md

@@ -100,6 +100,7 @@ np.mean(same_distribution)
 
 均值是分布直方图的物理属性。这里是`not_symmetric`的分布直方图，或者等价的`same_distribution`的分布直方图。
 
+![](img/12-1.png)
 
 想象一下，直方图是由纸板组成的图形，它附着在一条线上，线沿着横轴延伸。并且，将这些条形想象为附加在值 2, 3 和 9 上的权重。假设你尝试在线上的某个点平衡这个图形。如果该点接近 2，图形就向右倾斜。如果该点接近 9，则图形就向左倾斜。之间的某个地方是这个数字取得平衡的点。这个点是 4.25，就是均值。
 
@@ -109,6 +110,8 @@ np.mean(same_distribution)
 
 因为均值是一个平衡点，有时在直方图的底部显示为一个支点或三角形。
 
+![](img/12-2.png)
+
 ### 均值和中位数
 
 如果一个学生的考试成绩低于平均水平，这是否意味着该学生在该考试中处于后一半？
@@ -121,6 +124,8 @@ np.mean(same_distribution)
 symmetric = make_array(2, 3, 3, 4)
 ```
 
+![](img/12-3.png)
+
 ```py
 np.mean(symmetric)
 3.0
@@ -132,6 +137,7 @@ percentile(50, symmetric)
 
 如果分布不对称呢？ 我们来比较`symmetric`和`not_symmetric`。
 
+![](img/12-4.png)
 
 蓝色直方图表示原始的`symmetric`分布。 `not_symmetric `的金色从左端起始，和蓝色一样，但是最右边的条形到了数值 9。棕色部分是两个直方图重叠的位置。
 
@@ -157,6 +163,8 @@ sf2015 = Table.read_table('san_francisco_2015.csv').where('Salaries', are.above(
 sf2015.select('Total Compensation').hist(bins = np.arange(10000, 700000, 25000))
 ```
 
+![](img/12-5.png)
+
 这个直方图向右偏斜；它的右侧有个尾巴。
 
 平均值拉向了尾巴的方向。 所以我们预计平均薪酬会比中位数大，事实确实如此。
@@ -330,6 +338,8 @@ nba13
 nba13.select('Height').hist(bins=np.arange(68, 88, 1))
 ```
 
+![](img/12-6.png)
+
 NBA 球员身材高大并不奇怪！ 他们的平均身高只有 79 英寸（6'7"），比美国男子的平均身高高出 10 英寸。
 
 ```py
@@ -412,6 +422,8 @@ nba13.sort('Height').show(3)
 nba13.select('Age in 2013').hist(bins=np.arange(15, 45, 1))
 ```
 
+![](img/12-7.png)
+
 ```py
 ages = nba13.column('Age in 2013')
 mean_age = np.mean(ages)
@@ -574,6 +586,8 @@ united.hist('Delay (Standard Units)', bins=np.arange(-5, 15.5, 0.5))
 plots.xticks(np.arange(-6, 17, 3));
 ```
 
+![](img/12-8.png)
+
 ## 标准差和正态曲线
 
 我们知道均值是直方图的平衡点。 标准差与平均值不同，通常不容易通过查看直方图来识别。
@@ -598,6 +612,8 @@ positions = np.arange(-3, 3.1, 1)*sd_height + mean_height
 plots.xticks(positions);
 ```
 
+![](img/12-9.png)
+
 上面单元格中的最后两行代码更改了横轴的标签。 现在，对于`z=0, ±1, ±2, ±3`，标签对应于“标签上下`z`个标准差”。 由于分布的形状，“中心”具有明确的含义，在 64 处清晰可见。
 
 ### 如何定位钟形曲线上的 SD
@@ -618,6 +634,8 @@ plots.xticks(positions);
 
 ![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi%28z%29%20%3D%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%20%5Cpi%7D%7D%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dz%5E2%7D%2C%20%7E%7E%20-%5Cinfty%20%3C%20z%20%3C%20%5Cinfty)
 
+![](img/12-10.png)
+
 与往常一样，当你检查新的直方图时，首先查看横轴。在标准正态曲线的横轴上，这些值是标准单位。
 
 这里是曲线的一些属性。有些是通过观察显而易见的，有些则需要大量的数学才能建立起来。
@@ -646,6 +664,8 @@ from scipy import stats
 
 让我们使用这个函数来求出标准正态曲线下，`z=1`左侧的面积。
 
+![](img/12-11.png)
+
 阴影区域的数值可以通过调用`stats.norm.cdf`来求出。
 
 ```py
@@ -657,6 +677,8 @@ stats.norm.cdf(1)
 
 `z = 1`右侧的面积大概是`100% - 84% = 16%`。
 
+![](img/12-12.png)
+
 ```py
 1 - stats.norm.cdf(1)
 0.15865525393145707
@@ -664,6 +686,8 @@ stats.norm.cdf(1)
 
 `z = -1`和`z = 1`之间的面积可以用几种不同的方式来计算。 它是下面的曲线下方的金色区域。
 
+![](img/12-13.png)
+
 例如，我们可以将面积计算为“`100% -`两个相等的尾巴”，结果大致是`100% - 2X16% = 68%`。
 
 或者我们可以注意到，`z = 1`和`z = -1`之间的区域等于`z = 1`左边的所有区域，减去`z = -1`左边的所有区域。
@@ -675,6 +699,8 @@ stats.norm.cdf(1) - stats.norm.cdf(-1)
 
 通过类似的计算，我们看到`-2`和`2`之间的区域大约是 95%。
 
+![](img/12-14.png)
+
 ```py
 stats.norm.cdf(2) - stats.norm.cdf(-2)
 0.95449973610364158
@@ -762,6 +788,8 @@ red
 red.select('Winnings: Red').hist(bins=np.arange(-1.5, 1.6, 1))
 ```
 
+![](img/12-15.png)
+
 现在假设你多次对红色下注。 你的净收益将是来自上述分布的，多个带放回随机抽样的总和。
 
 这将需要一些数学，来列出净收益的所有可能值，以及所有的记录。 我们不会那样做；相反，我们将通过模拟来逼近概率分布，就像我们在这个过程中一直做的那样。
@@ -786,6 +814,8 @@ results = Table().with_column(
 results.hist(bins=np.arange(-80, 50, 6))
 ```
 
+![](img/12-16.png)
+
 这是一个大致钟形的直方图，即使我们正在绘制的分布并不是钟形。
 
 中心。分布集中在`-$20`附近。 要知道为什么，请注意，你的奖金在 18/38 左右的下注中为 1 美元，剩下的 20/38 则为负一美元。 所以每个一美元赌注的平均奖金大概是 -5.26 美分：
@@ -830,6 +860,8 @@ united = Table.read_table('united_summer2015.csv')
 united.select('Delay').hist(bins=np.arange(-20, 300, 10))
 ```
 
+![](img/12-17.png)
+
 平均延误约为 16.6 分钟，SD 约为 39.5 分钟。 注意 SD 与平均值相比有多大。 但是右侧的较大偏差会产生影响，尽管它们在数据中占很小的比例。
 
 ```py
@@ -869,6 +901,8 @@ results = Table().with_column(
 results.hist(bins=np.arange(10, 25, 0.5))
 ```
 
+![](img/12-18.png)
+
 即使我们从非常偏斜的分布抽样，我们再次看到了大致的钟形。 正如我们所期望的那样，这个钟形的中心在 16 到 17 之间。
 
 ### 中心极限定律
@@ -920,6 +954,8 @@ results = Table().with_column('Sample Proportion: 200', props)
 results.hist(bins=np.arange(0.65, 0.85, 0.01))
 ```
 
+![](img/12-19.png)
+
 正如你所期望的那样，中央极限定理预测了，正态曲线再次集中于 0.75 左右。
 
 如果我们增加样本量，这个分布如何变化？ 让我们再次运行代码，样本量为 800 ，并将模拟结果收集在同一个表中，我们在里面收集了样本量为 200 的模拟结果。我们使重复次数与之前相同，以便两列具有相同的长度。
@@ -938,6 +974,8 @@ results = results.with_column('Sample Proportion: 800', props2)
 results.hist(bins=np.arange(0.65, 0.85, 0.01))
 ```
 
+![](img/12-20.png)
+
 两个分布都大致是正态，但一个比另一个更窄。 样本量为 800 的比例，比样本量为 200 的比例更紧密地聚集在 0.75 左右。增加样本量可以减少样本比例的可变性。
 
 这应该不会令人惊讶。 我们多次产生了这样的直觉，更大的样本量通常会降低统计量的可变性。 然而，在样本均值的案例中，我们可以量化样本量和可变性之间的关系。
@@ -960,6 +998,8 @@ pop_mean
 16.658155515370705
 ```
 
+![](img/12-21.png)
+
 现在我们来随机抽样，来查看样本均值的概率分布。 像往常一样，我们将使用模拟来得到这种分布的经验近似。
 
 我们将定义一个函数`simulate_sample_mean`来实现，因为我们将在稍后改变样本量。 参数是表的名称，包含变量的列标签，样本量和模拟次数。
@@ -1002,6 +1042,8 @@ Population SD: 39.4801998516
 SD of sample means: 3.90507237968
 ```
 
+![](img/12-22.png)
+
 ```py
 simulate_sample_mean(delay, 'Delay', 400, 10000)
 plots.xlim(5, 35)
@@ -1013,6 +1055,8 @@ Population SD: 39.4801998516
 SD of sample means: 1.98326299651
 ```
 
+![](img/12-23.png)
+
 ```py
 simulate_sample_mean(delay, 'Delay', 625, 10000)
 plots.xlim(5, 35)
@@ -1024,6 +1068,8 @@ Population SD: 39.4801998516
 SD of sample means: 1.60089096006
 ```
 
+![](img/12-24.png)
+
 你可以在实践中看到中心极限定律 - 样本均值的直方图是大致正态的，即使延误本身的直方图与正态分布相差甚远。
 
 你还可以看到，样本均值的三个直方图中的每一个中心都非常接近总体均值。 在每种情况下，“样本均值的均值”非常接近 16.66 分钟，是总体均值。 每个直方图上方的打印输出都提供了这两个值。 像预期一样，样本均值是对总体均值的无偏估计。
@@ -1094,6 +1140,8 @@ sd_comparison
 sd_comparison.plot('Sample Size n')
 ```
 
+![](img/12-25.png)
+
 那里确实有两条曲线。但他们彼此如此接近，看起来好像只有一个。
 
 我们看到了一个普遍结果的实例。 请记住，上面的图表基于每个样本量的 10,000 个重复。 但是每个样本量有超过 10,000 个样本。 样本均值的概率分布基于大小固定的所有可能样本的均值。
@@ -1165,6 +1213,8 @@ sd_comparison.plot('Sample Size n')
 
 那么我们卡住了吗？ 不，因为我们可以限制人口的标准差。 这里是两个这样的分布的直方图，一个是相等比例的 1 和 0 ，另一个是 90% 的 1 和 10% 的 0。 哪一个标准差更大？
 
+![](img/12-26.png)
+
 请记住，总体中的可能值只有 0 和 1。
 
 蓝色直方图（50% 的 1 和 50% 的 0）比金色延展度更大。 它的均值是 0.5。 距离均值的偏差，一半等于 0.5，另一半等于 -0.5，所以标准差是 0.5。
@@ -1209,6 +1259,8 @@ zero_one_sds
 zero_one_sds.scatter("Population Proportion of 1's")
 ```
 
+![](img/12-27.png)
+
 总结：01 总体的标准差最大为 0.5。 当 50% 的总体为 1 而另外 50% 为 0 时，这就是标准差的值。
 
 ### 样本量