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    机器学习算法Python实现

    MIT license

    目录

    一、线性回归

    1、代价函数

    • J(\theta ) = \frac{1}{{2{\text{m}}}}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}^2}}

    • 其中: {h_\theta }(x) = {\theta _0} + {\theta _1}{x_1} + {\theta _2}{x_2} + ...

    • 下面就是要求出theta,使代价最小,即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近

    • 共有m条数据,其中{{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}^2}}代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方,平方的原因是因为可能有负值,正负可能会抵消

    • 前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导,2可以消去

    • 实现代码:

    # 计算代价函数
    def computerCost(X,y,theta):
        m = len(y)
        J = 0
        
        J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
        return J
    • 注意这里的X是真实数据前加了一列1,因为有theta(0)

    2、梯度下降算法

    • 代价函数对{{\theta _j}}求偏导得到:
      \frac{{\partial J(\theta )}}{{\partial {\theta j}}} = \frac{1}{m}\sum\limits{i = 1}^m {[({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}]}
    • 所以对theta的更新可以写为:
      {\theta j} = {\theta j} - \alpha \frac{1}{m}\sum\limits{i = 1}^m {[({h\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}]}
    • 其中\alpha 为学习速率,控制梯度下降的速度,一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....
    • 为什么梯度下降可以逐步减小代价函数
    • 假设函数f(x)
    • 泰勒展开:f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)
    • 令:△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α
    • △x代入泰勒展开式中:f(x+△x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)
    • 可以看出,α是取得很小的正数,[f'(x)]²也是正数,所以可以得出:f(x+△x)<=f(x)
    • 所以沿着负梯度放下,函数在减小,多维情况一样。
    • 实现代码
    # 梯度下降算法
    def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
        m = len(y)      
        n = len(theta)
        
        temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters)))   # 暂存每次迭代计算的theta,转化为矩阵形式
        
        
        J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
        
        for i in range(num_iters):  # 遍历迭代次数    
            h = np.dot(X,theta)     # 计算内积,matrix可以直接乘
            temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y)))   #梯度的计算
            theta = temp[:,i]
            J_history[i] = computerCost(X,y,theta)      #调用计算代价函数
            print '.',      
        return theta,J_history  

    3、均值归一化

    • 目的是使数据都缩放到一个范围内,便于使用梯度下降算法
    • {x_i} = \frac{{{x_i} - {\mu _i}}}{{{s_i}}}
    • 其中 {{\mu _i}} 为所有此feture数据的平均值
    • {{s_i}}可以是最大值-最小值,也可以是这个feature对应的数据的标准差
    • 实现代码:
    # 归一化feature
    def featureNormaliza(X):
        X_norm = np.array(X)            #将X转化为numpy数组对象,才可以进行矩阵的运算
        #定义所需变量
        mu = np.zeros((1,X.shape[1]))   
        sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
        
        mu = np.mean(X_norm,0)          # 求每一列的平均值(0指定为列,1代表行)
        sigma = np.std(X_norm,0)        # 求每一列的标准差
        for i in range(X.shape[1]):     # 遍历列
            X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i]  # 归一化
        
        return X_norm,mu,sigma
    • 注意预测的时候也需要均值归一化数据

    4、最终运行结果

    • 代价随迭代次数的变化
      enter description here

    5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

    • 导入包
    from sklearn import linear_model
    from sklearn.preprocessing import StandardScaler    #引入缩放的包
    • 归一化
        # 归一化操作
        scaler = StandardScaler()   
        scaler.fit(X)
        x_train = scaler.transform(X)
        x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))
    • 线性模型拟合
        # 线性模型拟合
        model = linear_model.LinearRegression()
        model.fit(x_train, y)
    • 预测
        #预测结果
        result = model.predict(x_test)

    二、逻辑回归

    1、代价函数

    • \left{ \begin{gathered}
J(\theta ) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\cos t({h_\theta }({x^{(i)}}),{y^{(i)}})}  \hfill \
\cos t({h_\theta }(x),y) = \left{ {\begin{array}{c}    { - \log ({h_\theta }(x))} \    { - \log (1 - {h_\theta }(x))}  \end{array} \begin{array}{c}    {y = 1} \    {y = 0}  \end{array} } \right. \hfill \
\end{gathered}  \right.
    • 可以综合起来为: J(\theta ) =  - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})] 其中: {h_\theta }(x) = \frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}
    • 为什么不用线性回归的代价函数表示,因为线性回归的代价函数可能是非凸的,对于分类问题,使用梯度下降很难得到最小值,上面的代价函数是凸函数
    • { - \log ({h_\theta }(x))}的图像如下,即y=1时: enter description here

    可以看出,当{{h_\theta }(x)}趋于1y=1,与预测值一致,此时付出的代价cost趋于0,若{{h_\theta }(x)}趋于0y=1,此时的代价cost值非常大,我们最终的目的是最小化代价值

    • 同理{ - \log (1 - {h_\theta }(x))}的图像如下(y=0):
      enter description here

    2、梯度

    • 同样对代价函数求偏导: \frac{{\partial J(\theta )}}{{\partial {\theta j}}} = \frac{1}{m}\sum\limits{i = 1}^m {[({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}]}
      可以看出与线性回归的偏导数一致
    • 推到过程 enter description here

    3、正则化

    • 目的是为了防止过拟合
    • 在代价函数中加上一项J(\theta ) =  - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})] + \frac{\lambda }{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^n {\theta _j^2}
    • 注意j是重1开始的,因为theta(0)为一个常数项,X中最前面一列会加上1列1,所以乘积还是theta(0),feature没有关系,没有必要正则化
    • 正则化后的代价:
    # 代价函数
    def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
        m = len(y)
        J = 0
        
        h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)
        theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始,不包含0,所以复制一份,前theta(0)值为0 
        theta1[0] = 0   
        
        temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
        J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程
        return J
    • 正则化后的代价的梯度
    # 计算梯度
    def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
        m = len(y)
        grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
        
        h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
        theta1 = initial_theta.copy()
        theta1[0] = 0
    
        grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
        return grad  

    4、S型函数(即{{h_\theta }(x)}

    • 实现代码:
    # S型函数    
    def sigmoid(z):
        h = np.zeros((len(z),1))    # 初始化,与z的长度一置
        
        h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
        return h

    5、映射为多项式

    • 因为数据的feture可能很少,导致偏差大,所以创造出一些feture结合
    • eg:映射为2次方的形式:1 + {x_1} + {x_2} + x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2
    • 实现代码:
    # 映射为多项式 
    def mapFeature(X1,X2):
        degree = 3;                     # 映射的最高次方
        out = np.ones((X1.shape[0],1))  # 映射后的结果数组(取代X)
        '''
        这里以degree=2为例,映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
        '''
        for i in np.arange(1,degree+1): 
            for j in range(i+1):
                temp = X1**(i-j)*(X2**j)    #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
                out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
        return out

    6、使用scipy的优化方法

    • 梯度下降使用scipyoptimize中的fmin_bfgs函数
    • 调用scipy中的优化算法fmin_bfgs(拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
    • costFunction是自己实现的一个求代价的函数,
    • initial_theta表示初始化的值,
    • fprime指定costFunction的梯度
    • args是其余测参数,以元组的形式传入,最后会将最小化costFunction的theta返回
        result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))    

    7、运行结果

    • data1决策边界和准确度
      enter description here enter description here
    • data2决策边界和准确度
      enter description here enter description here

    8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

    • 导入包
    from sklearn.linear_model import LogisticRegression
    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    from sklearn.cross_validation import train_test_split
    import numpy as np
    • 划分训练集和测试集
        # 划分为训练集和测试集
        x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)
    • 归一化
        # 归一化
        scaler = StandardScaler()
        x_train = scaler.fit_transform(x_train)
        x_test = scaler.fit_transform(x_test)
    • 逻辑回归
        #逻辑回归
        model = LogisticRegression()
        model.fit(x_train,y_train)
    • 预测
        # 预测
        predict = model.predict(x_test)
        right = sum(predict == y_test)
        
        predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块,好观察
        print predict
        print ('测试集准确率:%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))          #计算在测试集上的准确度

    逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

    1、随机显示100个数字

    • 我没有使用scikit-learn中的数据集,像素是20*20px,彩色图如下 enter description here 灰度图: enter description here
    • 实现代码:
    # 显示100个数字
    def display_data(imgData):
        sum = 0
        '''
        显示100个数(若是一个一个绘制将会非常慢,可以将要画的数字整理好,放到一个矩阵中,显示这个矩阵即可)
        - 初始化一个二维数组
        - 将每行的数据调整成图像的矩阵,放进二维数组
        - 显示即可
        '''
        pad = 1
        display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
        for i in range(10):
            for j in range(10):
                display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F"))    # order=F指定以列优先,在matlab中是这样的,python中需要指定,默认以行
                sum += 1
                
        plt.imshow(display_array,cmap='gray')   #显示灰度图像
        plt.axis('off')
        plt.show()

    2、OneVsAll

    • 如何利用逻辑回归解决多分类的问题,OneVsAll就是把当前某一类看成一类,其他所有类别看作一类,这样有成了二分类的问题了
    • 如下图,把途中的数据分成三类,先把红色的看成一类,把其他的看作另外一类,进行逻辑回归,然后把蓝色的看成一类,其他的再看成一类,以此类推... enter description here
    • 可以看出大于2类的情况下,有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

    3、手写数字识别

    • 共有0-9,10个数字,需要10次分类
    • 由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字,而进行逻辑回归需要0/1的label标记,所以需要对y处理
    • 说一下数据集,前500个是0,500-10001,...,所以如下图,处理后的y前500行的第一列是1,其余都是0,500-1000行第二列是1,其余都是0.... enter description here
    • 然后调用梯度下降算法求解theta
    • 实现代码:
    # 求每个分类的theta,最后返回所有的all_theta    
    def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
        # 初始化变量
        m,n = X.shape
        all_theta = np.zeros((n+1,num_labels))  # 每一列对应相应分类的theta,共10列
        X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))       # X前补上一列1的偏置bias
        class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系
        initial_theta = np.zeros((n+1,1))       # 初始化一个分类的theta
        
        # 映射y
        for i in range(num_labels):
            class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
        
        #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')    
        
        '''遍历每个分类,计算对应的theta值'''
        for i in range(num_labels):
            result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
            all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1)   # 放入all_theta中
            
        all_theta = np.transpose(all_theta) 
        return all_theta

    4、预测

    • 之前说过,预测的结果是一个概率值,利用学习出来的theta代入预测的S型函数中,每行的最大值就是是某个数字的最大概率,所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时,所有为0的将y映射在第一列,为1的映射在第二列,依次类推
    • 实现代码:
    # 预测
    def predict_oneVsAll(all_theta,X):
        m = X.shape[0]
        num_labels = all_theta.shape[0]
        p = np.zeros((m,1))
        X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))   #在X最前面加一列1
        
        h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta)))  #预测
    
        '''
        返回h中每一行最大值所在的列号
        - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值(是某个数字的最大概率)
        - 最后where找到的最大概率所在的列号(列号即是对应的数字)
        '''
        p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))  
        for i in np.arange(1, m):
            t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
            p = np.vstack((p,t))
        return p

    5、运行结果

    • 10次分类,在训练集上的准确度:
      enter description here

    6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

    • 1、导入包
    from scipy import io as spio
    import numpy as np
    from sklearn import svm
    from sklearn.linear_model import LogisticRegression
    • 2、加载数据
        data = loadmat_data("data_digits.mat") 
        X = data['X']   # 获取X数据,每一行对应一个数字20x20px
        y = data['y']   # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
        y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
    • 3、拟合模型
        model = LogisticRegression()
        model.fit(X, y) # 拟合
    • 4、预测
        predict = model.predict(X) #预测
        
        print u"预测准确度为:%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)
    • 5、输出结果(在训练集上的准确度) enter description here

    三、BP神经网络

    1、神经网络model

    • 先介绍个三层的神经网络,如下图所示

    • 输入层(input layer)有三个units({x_0}为补上的bias,通常设为1

    • a_i^{(j)}表示第j层的第i个激励,也称为为单元unit

    • {\theta ^{(j)}}为第j层到第j+1层映射的权重矩阵,就是每条边的权重 enter description here

    • 所以可以得到:

    • 隐含层:
      a_1^{(2)} = g(\theta _{10}^{(1)}{x_0} + \theta _{11}^{(1)}{x_1} + \theta _{12}^{(1)}{x_2} + \theta _{13}^{(1)}{x_3})
      a_2^{(2)} = g(\theta _{20}^{(1)}{x_0} + \theta _{21}^{(1)}{x_1} + \theta _{22}^{(1)}{x_2} + \theta _{23}^{(1)}{x_3})
      a_3^{(2)} = g(\theta _{30}^{(1)}{x_0} + \theta _{31}^{(1)}{x_1} + \theta _{32}^{(1)}{x_2} + \theta _{33}^{(1)}{x_3})

    • 输出层
      {h_\theta }(x) = a_1^{(3)} = g(\theta _{10}^{(2)}a_0^{(2)} + \theta _{11}^{(2)}a_1^{(2)} + \theta _{12}^{(2)}a_2^{(2)} + \theta _{13}^{(2)}a_3^{(2)}) 其中,S型函数g(z) = \frac{1}{{1 + {e^{ - z}}}},也成为激励函数

    • 可以看出{\theta ^{(1)}} 为3x4的矩阵,{\theta ^{(2)}}为1x4的矩阵

    • {\theta ^{(j)}} ==》j+1的单元数x(j层的单元数+1)

    2、代价函数

    • 假设最后输出的{h_\Theta }(x) \in {R^K},即代表输出层有K个单元
    • J(\Theta ) =  - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^K {[y_k^{(i)}\log {{({h_\Theta }({x^{(i)}}))}k}} }  + (1 - y_k^{(i)})\log {(1 - {h\Theta }({x^{(i)}}))_k}] 其中,{({h_\Theta }(x))_i}代表第i个单元输出
    • 与逻辑回归的代价函数J(\theta ) =  - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})]差不多,就是累加上每个输出(共有K个输出)

    3、正则化

    • L-->所有层的个数
    • {S_l}-->第l层unit的个数
    • 正则化后的代价函数
      enter description here
    • \theta 共有L-1层,
    • 然后是累加对应每一层的theta矩阵,注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
    • 正则化后的代价函数实现代码:
    # 代价函数
    def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
        length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
        # 还原theta1和theta2
        Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
        Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
        
        # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
        
        m = X.shape[0]
        class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系
        # 映射y
        for i in range(num_labels):
            class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
         
        '''去掉theta1和theta2的第一列,因为正则化时从1开始'''    
        Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
        Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
        Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
        Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
        # 正则化向theta^2
        term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
        
        '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
        a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))      
        z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))    
        a2 = sigmoid(z2)
        a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
        z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
        h  = sigmoid(z3)    
        '''代价'''    
        J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m   
        
        return np.ravel(J)

    4、反向传播BP

    • 上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度

    • BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

    • 假设4层的神经网络,\delta _{\text{j}}^{(l)}记为-->l层第j个单元的误差

    • \delta _{\text{j}}^{(4)} = a_j^{(4)} - {y_i}《===》{\delta ^{(4)}} = {a^{(4)}} - y(向量化)

    • {\delta ^{(3)}} = {({\theta ^{(3)}})^T}{\delta ^{(4)}}.*{g^}({a^{(3)}})

    • {\delta ^{(2)}} = {({\theta ^{(2)}})^T}{\delta ^{(3)}}.*{g^}({a^{(2)}})

    • 没有{\delta ^{(1)}},因为对于输入没有误差

    • 因为S型函数{\text{g(z)}}的导数为:{g^}(z){\text{ = g(z)(1 - g(z))}},所以上面的{g^}({a^{(3)}}){g^}({a^{(2)}})可以在前向传播中计算出来

    • 反向传播计算梯度的过程为:

    • \Delta _{ij}^{(l)} = 0\Delta 是大写的\delta

    • for i=1-m:
      -{a^{(1)}} = {x^{(i)}}
      -正向传播计算{a^{(l)}}(l=2,3,4...L)
      -反向计算{\delta ^{(L)}}{\delta ^{(L - 1)}}...{\delta ^{(2)}}
      -\Delta _{ij}^{(l)} = \Delta _{ij}^{(l)} + a_j^{(l)}{\delta ^{(l + 1)}}
      -D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^l\begin{array}{c}    {}& {(j \ne 0)}  \end{array}
      D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^lj = 0\begin{array}{c}    {}& {j = 0}  \end{array}

    • 最后\frac{{\partial J(\Theta )}}{{\partial \Theta {ij}^{(l)}}} = D{ij}^{(l)},即得到代价函数的梯度

    • 实现代码:

    # 梯度
    def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
        length = nn_params.shape[0]
        Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1).copy()   # 这里使用copy函数,否则下面修改Theta的值,nn_params也会一起修改
        Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1).copy()
        m = X.shape[0]
        class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系    
        # 映射y
        for i in range(num_labels):
            class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
         
        '''去掉theta1和theta2的第一列,因为正则化时从1开始'''
        Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
        Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
        Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
        Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
        
        Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重
        Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重
          
       
        '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
        a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
        z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
        a2 = sigmoid(z2)
        a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
        z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
        h  = sigmoid(z3)
        
        
        '''反向传播,delta为误差,'''
        delta3 = np.zeros((m,num_labels))
        delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
        for i in range(m):
            #delta3[i,:] = (h[i,:]-class_y[i,:])*sigmoidGradient(z3[i,:])  # 均方误差的误差率
            delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]                              # 交叉熵误差率
            Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
            delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
            Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
        
        Theta1[:,0] = 0
        Theta2[:,0] = 0          
        '''梯度'''
        grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
        return np.ravel(grad)

    5、BP可以求梯度的原因

    • 实际是利用了链式求导法则
    • 因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
    • 大体的推导过程如下,最终我们是想预测函数与已知的y非常接近,求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。 enter description here
    • 求误差更详细的推导过程: enter description here

    6、梯度检查

    • 检查利用BP求的梯度是否正确
    • 利用导数的定义验证: \frac{{dJ(\theta )}}{{d\theta }} \approx \frac{{J(\theta  + \varepsilon ) - J(\theta  - \varepsilon )}}{{2\varepsilon }}
    • 求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
    • 验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
    • 实现代码:
    # 检验梯度是否计算正确
    # 检验梯度是否计算正确
    def checkGradient(Lambda = 0):
        '''构造一个小型的神经网络验证,因为数值法计算梯度很浪费时间,而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
        input_layer_size = 3
        hidden_layer_size = 5
        num_labels = 3
        m = 5
        initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); 
        initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
        X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
        y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
        
        y = y.reshape(-1,1)
        nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta 
        '''BP求出梯度'''
        grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, 
                         num_labels, X, y, Lambda)  
        '''使用数值法计算梯度'''
        num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
        step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
        e = 1e-4
        for i in range(nn_params.shape[0]):
            step[i] = e
            loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                                  num_labels, X, y, 
                                  Lambda)
            loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                                  num_labels, X, y, 
                                  Lambda)
            num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
            step[i]=0
        # 显示两列比较
        res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
        print res

    7、权重的随机初始化

    • 神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta0,因为若是每条边的权重都为0,每个神经元都是相同的输出,在反向传播中也会得到同样的梯度,最终只会预测一种结果。
    • 所以应该初始化为接近0的数
    • 实现代码
    # 随机初始化权重theta
    def randInitializeWeights(L_in,L_out):
        W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重
        epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
        W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
        return W

    8、预测

    • 正向传播预测结果
    • 实现代码
    # 预测
    def predict(Theta1,Theta2,X):
        m = X.shape[0]
        num_labels = Theta2.shape[0]
        #p = np.zeros((m,1))
        '''正向传播,预测结果'''
        X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
        h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
        h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
        h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
        
        '''
        返回h中每一行最大值所在的列号
        - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值(是某个数字的最大概率)
        - 最后where找到的最大概率所在的列号(列号即是对应的数字)
        '''
        #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
        p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))  
        for i in np.arange(1, m):
            t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
            p = np.vstack((p,t))
        return p 

    9、输出结果

    • 梯度检查:
      enter description here
    • 随机显示100个手写数字
      enter description here
    • 显示theta1权重
      enter description here
    • 训练集预测准确度
      enter description here
    • 归一化后训练集预测准确度
      enter description here

    四、SVM支持向量机

    1、代价函数

    • 在逻辑回归中,我们的代价为:
      \cos t({h_\theta }(x),y) = \left{ {\begin{array}{c}    { - \log ({h_\theta }(x))} \    { - \log (1 - {h_\theta }(x))}  \end{array} \begin{array}{c}    {y = 1} \    {y = 0}  \end{array} } \right.
      其中:{h_\theta }({\text{z}}) = \frac{1}{{1 + {e^{ - z}}}}z = {\theta ^T}x
    • 如图所示,如果y=1cost代价函数如图所示
      enter description here
      我们想让{\theta ^T}x >  > 0,即z>>0,这样的话cost代价函数才会趋于最小(这是我们想要的),所以用途中红色的函数\cos {t_1}(z)代替逻辑回归中的cost
    • y=0时同样,用\cos {t_0}(z)代替 enter description here
    • 最终得到的代价函数为:
      J(\theta ) = C\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\cos {t_1}({\theta ^T}{x^{(i)}}) + (1 - {y^{(i)}})\cos {t_0}({\theta ^T}{x^{(i)}})} ] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}} {\theta _j^2}
      最后我们想要\mathop {\min }\limits_\theta  J(\theta )
    • 之前我们逻辑回归中的代价函数为:
      J(\theta ) =  - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})] + \frac{\lambda }{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^n {\theta _j^2}
      可以认为这里的C = \frac{m}{\lambda },只是表达形式问题,这里C的值越大,SVM的决策边界的margin也越大,下面会说明

    2、Large Margin

    • 如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开
      enter description here

    • 先说一下向量内积

    • u = \left[ {\begin{array}{c}    {{u_1}} \    {{u_2}}  \end{array} } \right]v = \left[ {\begin{array}{c}    {{v_1}} \    {{v_2}}  \end{array} } \right]

    • ||u||表示u欧几里得范数(欧式范数),||u||{\text{ = }}\sqrt {{\text{u}}_1^2 + u_2^2}

    • 向量V向量u上的投影的长度记为p,则:向量内积:
      {{\text{u}}^T}v = p||u|| = {u_1}{v_1} + {u_2}{v_2}
      enter description here
      根据向量夹角公式推导一下即可,\cos \theta  = \frac{{\overrightarrow {\text{u}} \overrightarrow v }}{{|\overrightarrow {\text{u}} ||\overrightarrow v |}}

    • 前面说过,当C越大时,margin也就越大,我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时,C的乘积项\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\cos {t_1}({\theta ^T}{x^{(i)}}) + (1 - {y^{(i)}})\cos {t_0}({\theta ^T}{x^{(i)}})} ]要很小,所以近似为:
      J(\theta ) = C0 + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}} {\theta j^2}  = \frac{1}{2}\sum\limits{j = 1}^{\text{n}} {\theta _j^2}  = \frac{1}{2}(\theta _1^2 + \theta _2^2) = \frac{1}{2}{\sqrt {\theta _1^2 + \theta _2^2} ^2}
      我们最后的目的就是求使代价最小的θ


    • \left{ {\begin{array}{c}    {{\theta ^T}{x^{(i)}} \geqslant 1} \    {{\theta ^T}{x^{(i)}} \leqslant  - 1}  \end{array} } \right.\begin{array}{c}    {({y^{(i)}} = 1)} \    {({y^{(i)}} = 0)}  \end{array} 可以得到:
      \left{ {\begin{array}{c}    {{p^{(i)}}||\theta || \geqslant 1} \    {{p^{(i)}}||\theta || \leqslant  - 1}  \end{array} } \right.\begin{array}{c}    {({y^{(i)}} = 1)} \    {({y^{(i)}} = 0)}  \end{array} p即为xθ上的投影

    • 如下图所示,假设决策边界如图,找其中的一个点,到θ上的投影为p,则p||\theta || \geqslant 1或者p||\theta || \leqslant  - 1,若是p很小,则需要||\theta ||很大,这与我们要求的θ使||\theta || = \frac{1}{2}\sqrt {\theta _1^2 + \theta _2^2} 最小相违背,所以最后求的是large margin
      enter description here

    3、SVM Kernel(核函数)

    • 对于线性可分的问题,使用线性核函数即可

    • 对于线性不可分的问题,在逻辑回归中,我们是将feature映射为使用多项式的形式1 + {x_1} + {x_2} + x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2SVM中也有多项式核函数,但是更常用的是高斯核函数,也称为RBF核

    • 高斯核函数为:f(x) = {e^{ - \frac{{||x - u|{|^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}
      假设如图几个点, enter description here 令:
      {f_1} = similarity(x,{l^{(1)}}) = {e^{ - \frac{{||x - {l^{(1)}}|{|^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}
      {f_2} = similarity(x,{l^{(2)}}) = {e^{ - \frac{{||x - {l^{(2)}}|{|^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}} . . .

    • 可以看出,若是x{l^{(1)}}距离较近,==》{f_1} \approx {e^0} = 1,(即相似度较大)
      若是x{l^{(1)}}距离较远,==》{f_2} \approx {e^{ - \infty }} = 0,(即相似度较低)

    • 高斯核函数的σ越小,f下降的越快
      enter description here enter description here

    • 如何选择初始的{l^{(1)}}{l^{(2)}}{l^{(3)}}...

    • 训练集:(({x^{(1)}},{y^{(1)}}),({x^{(2)}},{y^{(2)}}),...({x^{(m)}},{y^{(m)}}))

    • 选择:{l^{(1)}} = {x^{(1)}},{l^{(2)}} = {x^{(2)}}...{l^{(m)}} = {x^{(m)}}

    • 对于给出的x,计算f,令:f_0^{(i)} = 1所以:{f^{(i)}} \in {R^{m + 1}}

    • 最小化J求出θ
      J(\theta ) = C\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\cos {t_1}({\theta ^T}{f^{(i)}}) + (1 - {y^{(i)}})\cos {t_0}({\theta ^T}{f^{(i)}})} ] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}} {\theta _j^2}

    • 如果{\theta ^T}f \geqslant 0,==》预测y=1

    4、使用scikit-learn中的SVM模型代码

        '''data1——线性分类'''
        data1 = spio.loadmat('data1.mat')
        X = data1['X']
        y = data1['y']
        y = np.ravel(y)
        plot_data(X,y)
        
        model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数
    • 非线性可分的,默认核函数为rbf
        '''data2——非线性分类'''
        data2 = spio.loadmat('data2.mat')
        X = data2['X']
        y = data2['y']
        y = np.ravel(y)
        plt = plot_data(X,y)
        plt.show()
        
        model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y)     # gamma为核函数的系数,值越大拟合的越好

    5、运行结果

    • 线性可分的决策边界:
      enter description here
    • 线性不可分的决策边界:
      enter description here

    五、K-Means聚类算法

    1、聚类过程

    • 聚类属于无监督学习,不知道y的标记分为K类

    • K-Means算法分为两个步骤

    • 第一步:簇分配,随机选K个点作为中心,计算到这K个点的距离,分为K个簇

    • 第二步:移动聚类中心:重新计算每个的中心,移动中心,重复以上步骤。

    • 如下图所示:

    • 随机分配的聚类中心
      enter description here

    • 重新计算聚类中心,移动一次
      enter description here

    • 最后10步之后的聚类中心
      enter description here

    • 计算每条数据到哪个中心最近实现代码:

    # 找到每条数据距离哪个类中心最近    
    def findClosestCentroids(X,initial_centroids):
        m = X.shape[0]                  # 数据条数
        K = initial_centroids.shape[0]  # 类的总数
        dis = np.zeros((m,K))           # 存储计算每个点分别到K个类的距离
        idx = np.zeros((m,1))           # 要返回的每条数据属于哪个类
        
        '''计算每个点到每个类中心的距离'''
        for i in range(m):
            for j in range(K):
                dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))
        
        '''返回dis每一行的最小值对应的列号,即为对应的类别
        - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值
        - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标
         - 注意:可能最小值对应的坐标有多个,where都会找出来,所以返回时返回前m个需要的即可(因为对于多个最小值,属于哪个类别都可以)
        '''  
        dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))
        return idx[0:dis.shape[0]]  # 注意截取一下
    • 计算类中心实现代码:
    # 计算类中心
    def computerCentroids(X,idx,K):
        n = X.shape[1]
        centroids = np.zeros((K,n))
        for i in range(K):
            centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1)   # 索引要是一维的,axis=0为每一列,idx==i一次找出属于哪一类的,然后计算均值
        return centroids

    2、目标函数

    • 也叫做失真代价函数
    • J({c^{(1)}}, \cdots ,{c^{(m)}},{u_1}, \cdots ,{u_k}) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}} - {u_{{c^{(i)}}}}|{|^2}}
    • 最后我们想得到:
      enter description here
    • 其中{c^{(i)}}表示第i条数据距离哪个类中心最近,
    • 其中{u_i}即为聚类的中心

    3、聚类中心的选择

    • 随机初始化,从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心
    • 随机一次的结果可能不好,可以随机多次,最后取使代价函数最小的作为中心
    • 实现代码:(这里随机一次)
    # 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心
    def kMeansInitCentroids(X,K):
        m = X.shape[0]
        m_arr = np.arange(0,m)      # 生成0-m-1
        centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))
        np.random.shuffle(m_arr)    # 打乱m_arr顺序    
        rand_indices = m_arr[:K]    # 取前K个
        centroids = X[rand_indices,:]
        return centroids

    4、聚类个数K的选择

    • 聚类是不知道y的label的,所以不知道真正的聚类个数
    • 肘部法则(Elbow method)
    • 作代价函数JK的图,若是出现一个拐点,如下图所示,K就取拐点处的值,下图此时K=3 enter description here
    • 若是很平滑就不明确,人为选择。
    • 第二种就是人为观察选择

    5、应用——图片压缩

    • 将图片的像素分为若干类,然后用这个类代替原来的像素值
    • 执行聚类的算法代码:
    # 聚类算法
    def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process):
        m,n = X.shape                   # 数据条数和维度
        K = initial_centroids.shape[0]  # 类数
        centroids = initial_centroids   # 记录当前类中心
        previous_centroids = centroids  # 记录上一次类中心
        idx = np.zeros((m,1))           # 每条数据属于哪个类
        
        for i in range(max_iters):      # 迭代次数
            print u'迭代计算次数:%d'%(i+1)
            idx = findClosestCentroids(X, centroids)
            if plot_process:    # 如果绘制图像
                plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程
                previous_centroids = centroids  # 重置
            centroids = computerCentroids(X, idx, K)    # 重新计算类中心
        if plot_process:    # 显示最终的绘制结果
            plt.show()
        return centroids,idx    # 返回聚类中心和数据属于哪个类

    6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

    • 导入包
        from sklearn.cluster import KMeans
    • 使用模型拟合数据
        model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类,拟合数据
    • 聚类中心
        centroids = model.cluster_centers_  # 聚类中心

    7、运行结果

    • 二维数据类中心的移动
      enter description here
    • 图片压缩
      enter description here

    六、PCA主成分分析(降维)

    1、用处

    • 数据压缩(Data Compression),使程序运行更快
    • 可视化数据,例如3D-->2D
    • ......

    2、2D-->1D,nD-->kD

    • 如下图所示,所有数据点可以投影到一条直线,是投影距离的平方和(投影误差)最小 enter description here
    • 注意数据需要归一化处理
    • 思路是找1向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小
    • 那么nD-->kD就是找k个向量$${u^{(1)}},{u^{(2)}} \ldots {u^{(k)}}$$,所有数据投影到上面使投影误差最小
    • eg:3D-->2D,2个向量$${u^{(1)}},{u^{(2)}}$$就代表一个平面了,所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

    3、主成分分析PCA与线性回归的区别

    • 线性回归是找xy的关系,然后用于预测y
    • PCA是找一个投影面,最小化data到这个投影面的投影误差

    4、PCA降维过程

    • 数据预处理(均值归一化)
    • 公式:$${\rm{x}}_j^{(i)} = {{{\rm{x}}_j^{(i)} - {u_j}} \over {{s_j}}}$$
    • 就是减去对应feature的均值,然后除以对应特征的标准差(也可以是最大值-最小值)
    • 实现代码:
        # 归一化数据
       def featureNormalize(X):
           '''(每一个数据-当前列的均值)/当前列的标准差'''
           n = X.shape[1]
           mu = np.zeros((1,n));
           sigma = np.zeros((1,n))
           
           mu = np.mean(X,axis=0)
           sigma = np.std(X,axis=0)
           for i in range(n):
               X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
           return X,mu,sigma
    • 计算协方差矩阵Σ(Covariance Matrix):$$\Sigma  = {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^n {{x^{(i)}}{{({x^{(i)}})}^T}} $$
    • 注意这里的Σ和求和符号不同
    • 协方差矩阵对称正定(不理解正定的看看线代)
    • 大小为nxn,nfeature的维度
    • 实现代码:
    Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m  # 求Sigma
    • 计算Σ的特征值和特征向量
    • 可以是用svd奇异值分解函数:U,S,V = svd(Σ)
    • 返回的是与Σ同样大小的对角阵S(由Σ的特征值组成)[注意matlab中函数返回的是对角阵,在python中返回的是一个向量,节省空间]
    • 还有两个酉矩阵U和V,且$$\Sigma  = US{V^T}$$
    • enter description here
    • 注意svd函数求出的S是按特征值降序排列的,若不是使用svd,需要按特征值大小重新排列U
    • 降维
    • 选取U中的前K列(假设要降为K维)
    • enter description here
    • Z就是对应降维之后的数据
    • 实现代码:
        # 映射数据
       def projectData(X_norm,U,K):
           Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))
           
           U_reduce = U[:,0:K]          # 取前K个
           Z = np.dot(X_norm,U_reduce) 
           return Z
    • 过程总结:
    • Sigma = X'*X/m
    • U,S,V = svd(Sigma)
    • Ureduce = U[:,0:k]
    • Z = Ureduce'*x

    5、数据恢复

    • 因为:$${Z^{(i)}} = U_{reduce}^T*{X^{(i)}}$$
    • 所以:$${X_{approx}} = {(U_{reduce}^T)^{ - 1}}Z$$ (注意这里是X的近似值)
    • 又因为Ureduce为正定矩阵,【正定矩阵满足:$$A{A^T} = {A^T}A = E$$,所以:$${A^{ - 1}} = {A^T}$$】,所以这里:
    • $${X_{approx}} = {(U_{reduce}^{ - 1})^{ - 1}}Z = {U_{reduce}}Z$$
    • 实现代码:
        # 恢复数据 
        def recoverData(Z,U,K):
            X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
            U_recude = U[:,0:K]
            X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude))  # 还原数据(近似)
            return X_rec

    6、主成分个数的选择(即要降的维度)

    • 如何选择
    • 投影误差(project error):$${1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}} - x_{approx}^{(i)}|{|^2}} $$
    • 总变差(total variation):$${1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}}|{|^2}} $$
    • 误差率(error ratio):$${{{1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}} - x_{approx}^{(i)}|{|^2}} } \over {{1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {||{x^{(i)}}|{|^2}} }} \le 0.01$$,则称99%保留差异性
    • 误差率一般取1%,5%,10%
    • 如何实现
    • 若是一个个试的话代价太大
    • 之前U,S,V = svd(Sigma),我们得到了S,这里误差率error ratio:
      $$error{\kern 1pt} ;ratio = 1 - {{\sum\limits_{i = 1}^k {{S_{ii}}} } \over {\sum\limits_{i = 1}^n {{S_{ii}}} }} \le threshold$$
    • 可以一点点增加K尝试。

    7、使用建议

    • 不要使用PCA去解决过拟合问题Overfitting,还是使用正则化的方法(如果保留了很高的差异性还是可以的)
    • 只有在原数据上有好的结果,但是运行很慢,才考虑使用PCA

    8、运行结果

    • 2维数据降为1维
    • 要投影的方向
      enter description here
    • 2D降为1D及对应关系
      enter description here
    • 人脸数据降维
    • 原始数据
      enter description here
    • 可视化部分U矩阵信息
      enter description here
    • 恢复数据
      enter description here

    9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维

    • 导入需要的包:
    #-*- coding: utf-8 -*-
    # Author:bob
    # Date:2016.12.22
    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot as plt
    from scipy import io as spio
    from sklearn.decomposition import pca
    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    • 归一化数据
        '''归一化数据并作图'''
        scaler = StandardScaler()
        scaler.fit(X)
        x_train = scaler.transform(X)
    • 使用PCA模型拟合数据,并降维
    • n_components对应要将的维度
        '''拟合数据'''
        K=1 # 要降的维度
        model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train)   # 拟合数据,n_components定义要降的维度
        Z = model.transform(x_train)    # transform就会执行降维操作
    • 数据恢复
    • model.components_会得到降维使用的U矩阵
        '''数据恢复并作图'''
        Ureduce = model.components_     # 得到降维用的Ureduce
        x_rec = np.dot(Z,Ureduce)       # 数据恢复

    七、异常检测 Anomaly Detection

    1、高斯分布(正态分布)Gaussian distribution

    • 分布函数:$$p(x) = {1 \over {\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{ - {{{{(x - u)}^2}} \over {2{\sigma ^2}}}}}$$
    • 其中,u为数据的均值σ为数据的标准差
    • σ,对应的图像越
    • 参数估计(parameter estimation
    • $$u = {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {{x^{(i)}}} $$
    • $${\sigma ^2} = {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({x^{(i)}} - u)}^2}} $$

    2、异常检测算法

    • 例子
    • 训练集:$${ {x^{(1)}},{x^{(2)}}, \cdots {x^{(m)}}} $$,其中$$x \in {R^n}$$
    • 假设$${x_1},{x_2} \cdots {x_n}$$相互独立,建立model模型:$$p(x) = p({x_1};{u_1},\sigma _1^2)p({x_2};{u_2},\sigma _2^2) \cdots p({x_n};{u_n},\sigma n^2) = \prod\limits{j = 1}^n {p({x_j};{u_j},\sigma _j^2)} $$
    • 过程
    • 选择具有代表异常的feature:xi
    • 参数估计:$${u_1},{u_2}, \cdots ,{u_n};\sigma _1^2,\sigma _2^2 \cdots ,\sigma _n^2$$
    • 计算p(x),若是P(x)<ε则认为异常,其中ε为我们要求的概率的临界值threshold
    • 这里只是单元高斯分布,假设了feature之间是独立的,下面会讲到多元高斯分布,会自动捕捉到feature之间的关系
    • 参数估计实现代码
    # 参数估计函数(就是求均值和方差)
    def estimateGaussian(X):
        m,n = X.shape
        mu = np.zeros((n,1))
        sigma2 = np.zeros((n,1))
        
        mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列,每列的均值
        sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
        return mu,sigma2

    3、评价p(x)的好坏,以及ε的选取

    • 偏斜数据的错误度量

    • 因为数据可能是非常偏斜的(就是y=1的个数非常少,(y=1表示异常)),所以可以使用Precision/Recall,计算F1Score(在CV交叉验证集上)

    • 例如:预测癌症,假设模型可以得到99%能够预测正确,1%的错误率,但是实际癌症的概率很小,只有0.5%,那么我们始终预测没有癌症y=0反而可以得到更小的错误率。使用error rate来评估就不科学了。

    • 如下图记录:
      enter description here

    • $$\Pr ecision = {{TP} \over {TP + FP}}$$ ,即:正确预测正样本/所有预测正样本

    • $${\mathop{\rm Re}\nolimits} {\rm{call}} = {{TP} \over {TP + FN}}$$ ,即:正确预测正样本/真实值为正样本

    • 总是让y=1(较少的类),计算PrecisionRecall

    • $${F_1}Score = 2{{PR} \over {P + R}}$$

    • 还是以癌症预测为例,假设预测都是no-cancer,TN=199,FN=1,TP=0,FP=0,所以:Precision=0/0,Recall=0/1=0,尽管accuracy=199/200=99.5%,但是不可信。

    • ε的选取

    • 尝试多个ε值,使F1Score的值高

    • 实现代码

    # 选择最优的epsilon,即:使F1Score最大    
    def selectThreshold(yval,pval):
        '''初始化所需变量'''
        bestEpsilon = 0.
        bestF1 = 0.
        F1 = 0.
        step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
        '''计算'''
        for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
            cvPrecision = pval<epsilon
            tp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 1).ravel()).astype(float)  # sum求和是int型的,需要转为float
            fp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0).ravel()).astype(float)
            fn = np.sum((cvPrecision == 0) & (yval == 1).ravel()).astype(float)
            precision = tp/(tp+fp)  # 精准度
            recision = tp/(tp+fn)   # 召回率
            F1 = (2*precision*recision)/(precision+recision)  # F1Score计算公式
            if F1 > bestF1:  # 修改最优的F1 Score
                bestF1 = F1
                bestEpsilon = epsilon
        return bestEpsilon,bestF1

    4、选择使用什么样的feature(单元高斯分布)

    • 如果一些数据不是满足高斯分布的,可以变化一下数据,例如log(x+C),x^(1/2)
    • 如果p(x)的值无论异常与否都很大,可以尝试组合多个feature,(因为feature之间可能是有关系的)

    5、多元高斯分布

    • 单元高斯分布存在的问题
    • 如下图,红色的点为异常点,其他的都是正常点(比如CPU和memory的变化)
      enter description here
    • x1对应的高斯分布如下:
      enter description here
    • x2对应的高斯分布如下:
      enter description here
    • 可以看出对应的p(x1)和p(x2)的值变化并不大,就不会认为异常
    • 因为我们认为feature之间是相互独立的,所以如上图是以正圆的方式扩展
    • 多元高斯分布
    • $$x \in {R^n}$$,并不是建立p(x1),p(x2)...p(xn),而是统一建立p(x)
    • 其中参数:$$\mu  \in {R^n},\Sigma  \in {R^{n \times {\rm{n}}}}$$,Σ协方差矩阵
    • $$p(x) = {1 \over {{{(2\pi )}^{{n \over 2}}}|\Sigma {|^{{1 \over 2}}}}}{e^{ - {1 \over 2}{{(x - u)}^T}{\Sigma ^{ - 1}}(x - u)}}$$
    • 同样,|Σ|越小,p(x)越尖
    • 例如:
      enter description here
      表示x1,x2正相关,即x1越大,x2也就越大,如下图,也就可以将红色的异常点检查出了 enter description here
      若:
      enter description here
      表示x1,x2负相关
    • 实现代码:
    # 多元高斯分布函数    
    def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
        k = len(mu)
        if (Sigma2.shape[0]>1):
            Sigma2 = np.diag(Sigma2)
        '''多元高斯分布函数'''    
        X = X-mu
        argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
        p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1))  # axis表示每行
        return p

    6、单元和多元高斯分布特点

    • 单元高斯分布
    • 人为可以捕捉到feature之间的关系时可以使用
    • 计算量小
    • 多元高斯分布
    • 自动捕捉到相关的feature
    • 计算量大,因为:$$\Sigma  \in {R^{n \times {\rm{n}}}}$$
    • m>nΣ可逆时可以使用。(若不可逆,可能有冗余的x,因为线性相关,不可逆,或者就是m<n)

    7、程序运行结果

    • 显示数据
      enter description here
    • 等高线
      enter description here
    • 异常点标注
      enter description here

    项目简介

    🚀 Github 镜像仓库 🚀

    源项目地址

    https://github.com/lawlite19/machinelearning_python

    发行版本

    当前项目没有发行版本

    贡献者 3

    开发语言

    • Python 100.0 %