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# 十二、为什么均值重要

在这个课程中，我们已经研究了几个不同的统计量，包括总编译距离，最大值，中位数和平均值。在关于随机性的明确假设下，我们绘制了所有这些统计量的经验分布。有些统计量，比如最大和总变异距离，分布明显偏向一个方向。但是，无论研究对象如何，样本均值的经验分布几乎总是接近钟形。

如果随机样本的性质是真的，不管总体如何，它都能成为一个有力的推理工具，因为我们通常不清楚总体中的数据。大型随机样本的均值分布属于这类性质。这就是随机抽样方法广泛用于数据科学的原因。

在本章中，我们将研究均值，以及我们可以说的一些东西，仅仅使用最基本的底层总体的假设。我们要解决的问题包括：

+   均值正好测量了什么？
+   大部分数据与平均值有多接近？
+   样本量如何与样本的均值相关？
+   为什么随机样本的经验分布出现钟形？
+   我们如何有效地使用抽样方法进行推理？

## 均值的性质

在这个课程中，我们可以互换地使用“average”和“mean”两个单词（译者注，在中文中都译为“均值”），后面也一样。 在你高中甚至更早的时候，你熟悉均值的定义。

定义：数值集合的均值是集合中所有元素的总和，除以集合中元素的数量。

`np.average`和`np.mean`方法返回数组的均值。

```py
not_symmetric = make_array(2, 3, 3, 9)
np.average(not_symmetric)
4.25
np.mean(not_symmetric)
4.25
```

### 基本性质

上面的定义和例子指出了均值的一些性质。

+   它不一定是集合中的一个元素。
+   即使集合的所有元素都是整数，也不一定是整数。
+   它在集合的最小值和最大值之间。
+   它不一定在两个极值的正中间；集合中一半的元素并不总是大于均值。
+   如果集合含有一个变量的值，以指定单位测量，则均值也具有相同的单位。

我们现在将研究一些其他性质，它有助于理解均值，并与其他统计量相关。

### 均值是个“平滑器”

您可以将均值视为“均衡”或“平滑”操作。 例如，将上面的`not_symmetric`中的条目设想为四个不同人的口袋中的美元。 为此，你先把所有的钱都放进一个大袋子，然后平均分配给四个人。 最开始，他们在口袋中装了不同数量的钱（2 美元，3 美元，3 美元和9 美元），但现在每个人都有平均数量 4.25 美元。

### 均值的性质

如果一个集合只包含 1 和 0，那么集合的总和就是集合中 1 的数量，集合的均值就是 1 的比例。

```py
zero_one = make_array(1, 1, 1, 0)
sum(zero_one)
3
np.mean(zero_one)
0.75
```

捏可以将 1 替换为布尔值`True`，0 替换为`False`。

```py
np.mean(make_array(True, True, True, False))
0.75
```

因为比例是均值的一个特例，随机样本均值的结果也适用于随机样本比例。

### 均值和直方图

集合`{2, 3, 3, 9}`的平均值是 4.25，这不是数据的“正中间的点”。 那么这是什么意思？

为了了解它，请注意，平均值可以用不同的方式计算。

![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Balign*%7D%20%5Cmbox%7Bmean%7D%20%7E%20%26%3D%7E%204.25%20%5C%5C%20%5C%5C%20%26%3D%7E%20%5Cfrac%7B2%20+%203%20+%203%20+%209%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%26%3D%7E%202%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%7E%7E%20+%20%7E%7E%203%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%7E%7E%20+%20%7E%7E%203%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%7E%7E%20+%20%7E%7E%209%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%26%3D%7E%202%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%7E%7E%20+%20%7E%7E%203%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2%7D%7B4%7D%20%7E%7E%20+%20%7E%7E%209%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%26%3D%7E%202%20%5Ccdot%200.25%20%7E%7E%20+%20%7E%7E%203%20%5Ccdot%200.5%20%7E%7E%20+%20%7E%7E%209%20%5Ccdot%200.25%20%5Cend%7Balign*%7D)

最后一个表达式就是一个普遍事实的例子：当我们计算平均值时，集合中的每个不同的值都由它在集合中出现的时间比例加权。

这有一个重要的结果。 集合的平均值仅取决于不同的值及其比例，而不取决于集合中元素的数量。 换句话说，集合的平均值仅取决于集合中值的分布。

因此，如果两个集合具有相同的分布，则它们具有相同的均值。

例如，这里是另一个集合，它的分布与`not_symmetric`相同，因此均值也相同。

```py
not_symmetric
array([2, 3, 3, 9])
same_distribution = make_array(2, 2, 3, 3, 3, 3, 9, 9)
np.mean(same_distribution)
4.25
```

均值是分布直方图的物理属性。这里是`not_symmetric`的分布直方图，或者等价的`same_distribution`的分布直方图。


想象一下，直方图是由纸板组成的图形，它附着在一条线上，线沿着横轴延伸。并且，将这些条形想象为附加在值 2, 3 和 9 上的权重。假设您尝试在线上的某个点平衡这个图形。如果该点接近 2，图形就向右倾斜。如果该点接近 9，则图形就向左倾斜。之间的某个地方是这个数字取得平衡的点。这个点是 4.25，就是均值。

均值是直方图的重心或平衡点。

为了理解这是为什么，了解一些物理会有帮助。重心的计算与我们计算平均值的方法完全相同，通过将不同值按它们比例加权。

因为均值是一个平衡点，有时在直方图的底部显示为一个支点或三角形。

### 均值和中位数

如果一个学生的考试成绩低于平均水平，这是否意味着该学生在该考试中处于后一半？

对于学生来说，回答是“不一定”。 原因与直方图的平衡点即均值，和数据的“中间点”即中位数之间的关系有关。

通过这个关系很容易看到一个简单的例子。 这里是数组`symmetric`的集合`{2, 3, 3, 4}`的直方图。 分布对称于 3。均值和中位数都等于 3。

```py
symmetric = make_array(2, 3, 3, 4)
```

```py
np.mean(symmetric)
3.0
percentile(50, symmetric)
3
```

一般来说，对于对称分布，均值和中位数是相等的。

如果分布不对称呢？ 我们来比较`symmetric`和`not_symmetric`。


蓝色直方图表示原始的`symmetric`分布。 `not_symmetric `的金色从左端起始，和蓝色一样，但是最右边的条形到了数值 9。棕色部分是两个直方图重叠的位置。

蓝色分布的中位数和均值都等于 3。金色分布的中值也等于 3，尽管右半部分与左边的分布不同。

但金色分布的平均值不是 3：金色直方图在 3 时不平衡。平衡点已经向右移动到 4.25。

在金色分布中，4 个条目中有 3 个（75%）低于平均水平。 因此，低于平均分的学生可以放心。 他或她可能是班上的大多数人。

一般来说，如果直方图的一边有尾巴（整数属于是“偏斜的”），那么平均值就会从中间拉到尾巴的方向。