ch12.

12.md

@@ -558,9 +558,257 @@ within_3_sd.num_rows/united.num_rows
 0.9790235081374322
 ```
 
-延误时间的直方图如下所示，横轴以标准单位表示。 从上表中可以看出，右边的尾巴一直延伸到`z = 14.27 `个标准单位（580 分钟）。 在`z = -3`到`z = 3`范围外的直方图区域大约是 2%，加起来非常小，在直方图中几乎不可见。
+延误时间的直方图如下所示，横轴以标准单位表示。 从上表中可以看出，右边的尾巴一直延伸到`z = 14.27 `个标准单位（580 分钟）。 在`z = -3`到`z = 3`范围外的直方图面积大约是 2%，加起来非常小，在直方图中几乎不可见。
 
 ```py
 united.hist('Delay (Standard Units)', bins=np.arange(-5, 15.5, 0.5))
 plots.xticks(np.arange(-6, 17, 3));
 ```
+
+## 标准差和正态曲线
+
+我们知道均值是直方图的平衡点。 标准差与平均值不同，通常不容易通过查看直方图来识别。
+
+然而，有一种分布形状，它的标准差与平均值几乎一样清晰可辨。 这是钟形分布。 本节将查看该形状，因为它经常出现在概率直方图中，也出现在一些数据的直方图中。
+
+### 数据的大致钟形的直方图
+
+让我们看看母亲的身高分布，它们在我们熟悉的 1174 对母亲和新生儿的样本中。母亲的平均身高为 64 英寸，SD 为 2.5 英寸。 与篮球运动员的身高不同，母亲身高关于钟形曲线中的平均值对称分布。
+
+```py
+baby = Table.read_table('baby.csv')
+heights = baby.column('Maternal Height')
+mean_height = np.round(np.mean(heights), 1)
+mean_height
+64.0
+sd_height = np.round(np.std(heights), 1)
+sd_height
+2.5
+baby.hist('Maternal Height', bins=np.arange(55.5, 72.5, 1), unit='inch')
+positions = np.arange(-3, 3.1, 1)*sd_height + mean_height
+plots.xticks(positions);
+```
+
+上面单元格中的最后两行代码更改了横轴的标签。 现在，对于`z=0, ±1, ±2, ±3`，标签对应于“标签上下`z`个标准差”。 由于分布的形状，“中心”具有明确的含义，在 64 处清晰可见。
+
+### 如何定位钟形曲线上的 SD
+
+要看 SD 如何与曲线相关，请从曲线顶部开始，向右看。 请注意，曲线有一个地方，从看起来像“倒扣的杯子”，变为“朝右的杯子”。 在形式上，曲线有一个拐点。 这个点高于均值一个 SD。 这是`z = 1`的点，即“均值加一个标准差”，为 66.5 英寸。
+
+在均值的左边也对称，拐点在`z = -1`处，也就是“均值减一个标准差”，为 61.5 英寸。
+
+一般来说，对于钟形分布，SD 是均值和任一侧的拐点之间的距离。
+
+### 标准正态曲线
+
+除了轴上的标签，我们所看到的所有钟形直方图，看起来基本相同。 的确，通过适当地重新标记坐标轴，从所有这些曲线中，实际上只能绘制一条曲线。
+
+为了绘制这条基本曲线，我们将使用标准单位，我们可以将每个列表转换成它。所得到的曲线因此被称为标准正态曲线。
+
+标准正态曲线的方程令人印象深刻。 但是现在，最好把它看作是变量直方图的平滑轮廓，变量以标准单位测量并具有钟形分布。
+
+![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi%28z%29%20%3D%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%20%5Cpi%7D%7D%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dz%5E2%7D%2C%20%7E%7E%20-%5Cinfty%20%3C%20z%20%3C%20%5Cinfty)
+
+与往常一样，当您检查新的直方图时，首先查看横轴。在标准正态曲线的横轴上，这些值是标准单位。
+
+这里是曲线的一些属性。有些是通过观察显而易见的，有些则需要大量的数学才能建立起来。
+
+曲线下面的总面积是1.所以你可以把它看作是绘制为密度标度的直方图。
+
+曲线是对称的。所以如果一个变量具有这个分布，它的平均值和中位数都是 0。
+
+曲线的拐点在 -1 和 +1 处。
+
+如果一个变量具有这种分布，那么它的 SD 是 1。正态曲线是 SD 清晰可辨的极少数分布之一。
+
+由于我们将曲线视为平滑的直方图，因此我们希望用曲线下方的面积来表示数据总量的比例。
+
+平滑曲线下的面积通常是通过微积分来计算的，使用一种称为积分的方法。然而，一个数学的事实是，标准的正态曲线不能通过任何微积分方式来积分。
+
+因此，曲线下方的面积必须近似。这就是几乎所有的统计教科书，都带有曲线下方的面积的原因。这也是所有统计系统，包括 Python 模块在内，都包含提供这些面积的优秀近似的方法的原因。
+
+```py
+from scipy import stats
+```
+
+### 标准正态的累积分布函数（CDF）
+
+用于求出正态曲线下的面积的基本函数是`stats.norm.cdf`。 它接受一个数值参数，并返回曲线下，该数值的左侧的所有面积。 它在形式上被称为标准正态曲线的“累积分布函数”。 在口语里缩写为 CDF。
+
+让我们使用这个函数来求出标准正态曲线下，`z=1`左侧的面积。
+
+阴影区域的数值可以通过调用`stats.norm.cdf`来求出。
+
+```py
+stats.norm.cdf(1)
+0.84134474606854293
+```
+
+这大概是 84%。 现在我们可以使用曲线的对称性，以及曲线下面的总面积为 1 事实，来求出其他面积。
+
+`z = 1`右侧的面积大概是`100% - 84% = 16%`。
+
+```py
+1 - stats.norm.cdf(1)
+0.15865525393145707
+```
+
+`z = -1`和`z = 1`之间的面积可以用几种不同的方式来计算。 它是下面的曲线下方的金色区域。
+
+例如，我们可以将面积计算为“`100% -`两个相等的尾巴”，结果大致是`100% - 2X16% = 68%`。
+
+或者我们可以注意到，`z = 1`和`z = -1`之间的区域等于`z = 1`左边的所有区域，减去`z = -1`左边的所有区域。
+
+```py
+stats.norm.cdf(1) - stats.norm.cdf(-1)
+0.68268949213708585
+```
+
+通过类似的计算，我们看到`-2`和`2`之间的区域大约是 95%。
+
+```py
+stats.norm.cdf(2) - stats.norm.cdf(-2)
+0.95449973610364158
+```
+
+换句话说，如果一个直方图大致是钟形，那么在“均值上下两个标准差”范围内的数据比例大约是 95%。
+
+这比切比雪夫的下界 75% 还要多。 切比雪夫边界较弱，因为它必须适用于所有的分布。 如果我们知道一个分布是正态的，那么我们就有很好的比例近似，而不仅仅是边界。
+
+下表比较了我们对所有分布和正态分布的了解。 请注意，当`z = 1`时，切比雪夫的边界是正确的，但没有启发性。
+
+
+| Percent in Range | All Distributions: Bound | Normal Distribution: Approximation |
+| --- | --- | --- |
+| 均值上下一个标准差 | 至少 0% | 约 68% |
+| 均值上下两个标准差 | 至少 75% | 约 95% |
+| 均值上下三个标准差 | 至少 88.888...% | 约 99.73% |
+
+## 中心极限定律
+
+我们在本课程中看到的很少数据直方图是钟形的。 当我们遇到一个钟形的分布时，它几乎总是一个基于随机样本的统计量的经验直方图。
+
+下面的例子显示了两个非常不同的情况，其中在这样的直方图中出现了近似的钟形。
+
+### 轮盘赌的净收益
+
+在前面的章节中，如果我们在轮盘的不同轮次上重复下相同的赌注，那么我们所花费的总金额的粗略形状就会成为钟形。
+
+```py
+wheel
+```
+
+| Pocket | Color |
+| --- | --- |
+| 0 | green |
+| 00 | green |
+| 1 | red |
+| 2 | black |
+| 3 | red |
+| 4 | black |
+| 5 | red |
+| 6 | black |
+| 7 | red |
+| 8 | black |
+
+（省略了 28 行）
+
+回想一下，红色的下注返回相等的钱，1 比 1。我们定义的函数`red_winnings`返回对红色下注一美元的净收益。具体来说，该函数将颜色作为参数，如果颜色为红色，则返回 1。 对于所有其他颜色，它返回 -1。
+
+```py
+def red_winnings(color):
+    if color == 'red':
+        return 1
+    else:
+        return -1
+```
+
+`red`表展示了红色情况下，每个口袋的奖金。
+
+```py
+red = wheel.with_column(
+    'Winnings: Red', wheel.apply(red_winnings, 'Color')
+    )
+red
+```
+
+| Pocket | Color | Winnings: Red |
+| --- | --- | --- |
+| 0 | green | -1 |
+| 00 | green | -1 |
+| 1 | red | 1 |
+| 2 | black | -1 |
+| 3 | red | 1 |
+| 4 | black | -1 |
+| 5 | red | 1 |
+| 6 | black | -1 |
+| 7 | red | 1 |
+| 8 | black | -1 |
+
+（省略了 28 行）
+
+您在赌注上的净收益`Winnings: Red`的随机抽样。 有 1/18 的几率赚一美元，20/38 的几率损失一美元。 这个概率分布显示在下面的直方图中。
+
+```py
+red.select('Winnings: Red').hist(bins=np.arange(-1.5, 1.6, 1))
+```
+
+现在假设你多次对红色下注。 您的净收益将是来自上述分布的，多个带放回随机抽样的总和。
+
+这将需要一些数学，来列出净收益的所有可能值，以及所有的记录。 我们不会那样做；相反，我们将通过模拟来逼近概率分布，就像我们在这个过程中一直做的那样。
+
+下面的代码模拟你的净收益，如果你在轮盘赌的 400 个不同的轮次中，对红色下注一美元。
+
+```py
+num_bets = 400
+repetitions = 10000
+
+net_gain_red = make_array()
+
+for i in np.arange(repetitions):
+    spins = red.sample(num_bets)
+    new_net_gain_red = spins.column('Winnings: Red').sum()
+    net_gain_red = np.append(net_gain_red, new_net_gain_red)
+
+
+results = Table().with_column(
+    'Net Gain on Red', net_gain_red
+    )
+results.hist(bins=np.arange(-80, 50, 6))
+```
+
+这是一个大致钟形的直方图，即使我们正在绘制的分布并不是钟形。
+
+中心。分布集中在`-$20`附近。 要知道为什么，请注意，您的奖金在 18/38 左右的下注中为 1 美元，剩下的 20/38 则为负一美元。 所以每个一美元赌注的平均奖金大概是 -5.26 美分：
+
+```py
+average_per_bet = 1*(18/38) + (-1)*(20/38)
+average_per_bet
+-0.05263157894736842
+```
+
+因此，在 400 次下注中，你预计净收益大约是 21 美元。
+
+```py
+400 * average_per_bet
+-21.052631578947366
+```
+
+为了确认，我们可以计算 10,000 次模拟净收益的平均值：
+
+```py
+np.mean(results.column(0))
+-20.8992
+```
+
+延展。让你的眼睛沿着曲线从中心开始，注意到拐点在 0 附近。在钟形曲线上，SD 是中心到拐点的距离。 中心大概是 -20 美元，这意味着分布的标准差大约是 20 美元。
+
+在下一节中，我们将看到 20 美元是怎么来的。 现在，让我们通过简单计算 10,000 个模拟净收益的 SD 来证实我们的观察：
+
+```py
+np.std(results.column(0))
+20.043159415621083
+```
+
+总结。 400 次下注的净收益是每个单独赌注的 400 个奖金的总和。 这个总和的概率分布近似正态，我们可以近似它的均值和标准差。
+