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校对了Chapter16，翻译了附录CD

docs/Appendix_C.SVM对偶问题.md

+# Appendix C. SVM 对偶问题
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+ 为了理解对偶性，你首先得理解拉格朗日乘子法。它基本思想是将一个有约束优化问题转化为一个无约束优化问题，其方法是将约束条件移动到目标函数中去。让我们看一个简单的例子，例如要找到合适的 $x$ 和 $y$ 使得函数 $f(x, y) = x^2 + 2y$ 最小化，且其约束条件是一个等式约束：$3x + 2y + 1 = 0$。 使用拉格朗日乘子法，我们首先定义一个函数，称为**拉格朗日函数**：$g(x, y, \alpha) = f(x, y) - \alpha(3x + 2y + 1)$.  每个约束条件（在这个例子中只有一个）与新的变量（称为拉格朗日乘数）相乘，作为原目标函数的减数。
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+Joseph-Louis Lagrange 大牛证明了如果 $(\bar{x}, \bar{y})$ 是原约束优化问题的解，那么一定存在一个 $\bar{\alpha}$ ，使得 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{\alpha})$ 是拉格朗日函数的不动点（不动点指的是，在该点处，该函数所有的偏导数均为0）。换句话说，我们可以计算拉格朗日函数 $g(x, y, \alpha) $ 关于 $x, y$ 以及 $\alpha$ 的偏导数；然后我们可以找到那些偏导数均为0的不动点；最后原约束优化问题的解（如果存在）一定在这些不动点里面。
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+在上述例子里，偏导数为 
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+$\begin{align}\frac{\partial}{\partial x}g(x, y, \alpha) = 2x - 3\alpha \\ \frac{\partial}{\partial y}g(x, y, \alpha) = 2 - 2\alpha \\ \frac{\partial}{\partial \alpha}g(x, y, \alpha) = -3x - 2y - 1 \end{align}$  
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+当这些偏导数均为0时，即 2x − 3α = 2 − 2α = − 3x − 2y − 1 = 0，即可得 $x = \frac{3}{2}, y=-\frac{11}{4}, \alpha=1$. 这是唯一一个不动点，那它一定是原约束优化问题的解。然而，上述方法仅应用于等式约束，幸运的是，在某些正则性条件下，这种方法也可被一般化应用于不等式约束条件（例如不等式约束，$3x + 2y + 1 \geq 0$）。如下公式 C-1 ，给了SVM硬间隔问题时的一般化拉格朗日函数。在该公式中，$\alpha^{(i)}$ 是 KKT 乘子，它必须大于或等于0. （译者注：$\alpha^{(i)}$ 是 $\geq0$ 抑或 $\leq0$ 取决于拉格朗日函数的写法，以及原目标函数函数最大化抑或最小化）
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+![公式C-1](../images/Appendix/E_C-1.png)
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+就像拉格朗日乘子法，我们可以计算上述式子的偏导数、定位不动点。如果该原问题存在一个解，那它一定在不动点$(\bar{w}, \bar{b}, \bar{\alpha})$之中，且遵循 KKT 条件：
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+- 遵循原问题的约束： $t^{(i)}((\bar{w})^T x^{(i)} +\bar{b}) \geq 1$, 对于 $i = 1, 2, ..., m$
+- 遵循现问题里的约束，即 $\bar{\alpha}^{(i)} \geq 0$
+-  $\bar{\alpha}^{(i)} = 0$ 或者第`i`个约束条件是积极约束，意味着该等式成立：$t^{(i)}((\bar{w})^T x^{(i)} +\bar{b}) = 1$. 这个条件叫做 互补松弛 条件。它暗示了 $\bar{\alpha}^{(i)} = 0$ 和第`i`个样本位于SVM间隔的边界上（该样本是支撑向量）。
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+注意 KKT 条件是确定不动点是否为原问题解的必要条件。在某些条件下，KKT 条件也是充分条件。幸运的是，SVM 优化问题碰巧满足这些条件，所以任何满足 KKT 条件的不动点保证是原问题的解。
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+我们可以计算上述一般化拉格朗日函数关于`w`和`b`的偏导数，如 公式C-2.
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+![公式C-2](../images/Appendix/E_C-2.png)
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+令上述偏导数为0, 可得到公式C-3.
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+![公式C-3](../images/Appendix/E_C-3.png)
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+如果我们把上述式子代入到一般化拉格朗日函数（公式C-1）中，某些项会消失，从而得到公式C-4，并称之为原问题的对偶形式。
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+![公式C-4](../images/Appendix/E_C-4.png)
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+现在该对偶形式的目标是找到合适的向量 $\bar{\alpha}$ , 使得该函数 $L(w, b, \alpha)$ 最小化，且 $\bar{\alpha}^{(i)} \geq 0$. 现在这个有约束优化问题正是我们苦苦追寻的对偶问题。
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+一旦你找到了最优的 $\bar{\alpha}$, 你可以利用公式C-3第一行计算 $\bar{w}$。为了计算 $\bar{b}$, 你可以使用支撑向量的已知条件 $t^{(i)}((\bar{w})^T x^{(i)} +\bar{b}) = 1$, 当第 k 个样本是支撑向量时（即它对应的 $\alpha_k > 0$，此时使用它计算 $\bar{b} =1-t^{(k)}((\bar{w})^T . x^{(k)}) $. 对了，我们更喜欢利用所有支撑向量计算一个平均值，以获得更稳定和更准确的结果，如公式C-5.
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+![公式C-5](../images/Appendix/E_C-5.png)
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docs/Appendix_D.自动微分.md

+# Appendix D 自动微分
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+ 这个附录解释了 TensorFlow 的自动微分功能是如何工作的，以及它与其他解决方案的对比。
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+假定你定义了函数 $f(x, y) = x^2y + y + 2$, 需要得到它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$和 $\frac{\partial f}{\partial y}$，以用于梯度下降或者其他优化算法。你的可选方案有手动微分法，符号微分法，数值微分法，前向自动微分，和反向自动微分。TensorFlow实现的反向自动微分法。我们来看看每种方案。
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+## 手动微分法
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+第一个方法是拿起一直笔和一张纸，使用你的代数知识去手动的求偏导数。对于已定义的函数，求它的偏导并不太困难。你需要使用如下5条规则：
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+- 常数的导数为0.
+- $\lambda x$ 的导数为 $\lambda$ , $\lambda$为常数。
+- $x^{\lambda}$ 的导数是 $\lambda x^{\lambda - 1}$
+- 函数的和的导数，等于函数的导数的和
+- $\lambda$ 乘以函数，再求导，等于 $\lambda$ 乘以函数的导数
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+从上述这些规则，可得到公式D-1.
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+![公式D-1](../images/Appendix/E_D-1.png)
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+这个种方法应用于更复杂函数时将变得非常罗嗦，并且有可能出错。好消息是，像刚才我们做的求数学式子的偏导数可以被自动化，通过一个称为符号微分的过程。
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+## 符号微分
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+图D-1展示了符号微分是如何运行在相当简单的函数上的，$g(x,y) = 5 + xy$. 该函数的计算图如图的左边所示。通过符号微分，我们可得到图的右部分，它代表了 $\frac{\partial g}{\partial x} = 0 + (0 \times x + y \times 1) = y$, 相似地也可得到关于`y`的导数。
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+![D-1](../images/Appendix/D-1.png)
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+概算法先获得叶子结点的偏导数。常数5返回常数0, 因为常数的导数总是0。变量`x`返回常数1，变量`y`返回常数0因为 $\frac{\partial y}{\partial x} = 0$（如果我们找关于`y`的偏导数，那它将反过来）。
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+现在我们移动到计算图的相乘结点处，代数告诉我们，`u`和`v`相乘后的导数为 $\frac{\partial (u \times v)}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x} \times u + \frac{\partial u}{\partial x} \times v $. 因此我们可以构造有图中大的部分，代表0 × x + y × 1.
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+最后我们往上走到计算图的相加结点处，正如5条规则里提到的，和的导数等于导数的和。所以我们只需要创建一个相加结点，连接我们已经计算出来的部分。我们可以得到正确的偏导数，即：$\frac{\partial g}{\partial x} = 0 + (0 \times x + y \times 1) $.
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+然而，这个过程可简化。对该图应用一些微不足道的剪枝步骤，可以去掉所有不必要的操作，然后我们可以得到一个小得多的只有一个结点的偏导计算图：$\frac{\partial g}{\partial x} = y$.
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+在这个例子里，简化操作是相当简单的，但对更复杂的函数来说，符号微分会产生一个巨大的计算图，该图可能很难去简化，以导致次优的性能。更重要的是，符号微分不能处理由任意代码定义的函数，例如，如下已在第9章讨论过的函数：
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+```python
+def my_func(a, b):
+	z = 0
+	for i in range(100):
+		z = a * np.cos(z + i) + z * np.sin(b - i)
+	return z
+```
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+## 数值微分
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+从数值上说，最简单的方案是去计算导数的近似值。回忆`h(x)`在 $x_0$ 的导数 $h^{'}(x_0)$，是该函数在该点处的斜率，或者更准确如公式D-2所示。
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+![E_D-2](../images/Appendix/E_D-2.png)
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+因此如果我们想要计算 $f(x,y)$ 关于`x`，在 $x=3, y=4$ 处的导数，我们可以简单计算 $f(3+\epsilon, 4) - f(3, 4)$ 的值，将这个结果除以 $\epsilon$, 且 $\epsilon$ 去很小的值。这个过程正是如下的代码所要干的。
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+```python
+def f(x, y):
+	return x**2*y + y + 2
+  
+def derivative(f, x, y, x_eps, y_eps):
+	return (f(x + x_eps, y + y_eps) - f(x, y)) / (x_eps + y_eps)
+  
+df_dx = derivative(f, 3, 4, 0.00001, 0)
+df_dy = derivative(f, 3, 4, 0, 0.00001)
+```
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+不幸的是，偏导的结果并不准确（并且可能在求解复杂函数时更糟糕）。上述正确答案分别是 24 和 10 ，但我们得到的是：
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+```python
+>>> print(df_dx)
+24.000039999805264
+>>> print(df_dy)
+10.000000000331966
+```
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+注意到为了计算两个偏导数， 我们不得不调用`f()`至少三次（在上述代码里我们调用了四次，但可以优化）。如果存在 1000 个参数，我们将会调用`f()`至少 1001 次。当处理大的神经网络时，这样的操作很没有效率。
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+然而，数值微分实现起来如此简单，以至于它是检查其他方法正确性的优秀工具。例如，如果它的结果与您手动计算的导数不同，那么你的导数可能包含错误。
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+## 前向自动微分
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+前向自动微分既不是数值微分，也不是符号微分，但在某些方面，它是他们爱的小孩儿。它依赖对偶数。对偶数是奇怪但迷人的，是 $a + b\epsilon$ 形式的数，这里 `a` 和 `b` 是实数，$\epsilon$ 是无穷小的数，满足 $\epsilon ^ 2 = 0$, 但 $\epsilon \ne 0$. 你可以认为对偶数 $42 + 24\epsilon$ 类似于有着无穷个0的42.0000⋯000024（但当然这是简化后的，仅仅给你对偶数什么的想法）。一个对偶数在内存中表示为一个浮点数对，例如，$42 + 24\epsilon$ 表示为 (42.0, 24.0)。
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+对偶数可相加、相乘、等等操作，正如公式D-3所示。
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+![E_D-3](../images/Appendix/E_D-3.png)
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+最重要的，可证明 h(a + bϵ) = h(a) + b × h′(a)ϵ，所以计算一次 h(a + ϵ) 就得到了两个值 h(a) 和  h′(a) 。图D-2展示了前向自动微分如何计算 $f(x,y)=x^2y + y + 2$ 关于`x`，在 $x=3, y=4$ 处的导数的。我们所要做的一切只是计算 $f(3+\epsilon, 4)$; 它将输出一个对偶数，其第一部分等于 $f(3, 4)$, 第二部分等于 $f^{'}(3, 4) = \frac{\partial f}{\partial x} (3,4)$.
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+![D-2](../images/Appendix/D-2.png)
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+为了计算 $\frac{\partial f}{\partial y} (3,4)$ 我们不得不再历经一遍计算图，但这次前馈的值为 $x=3, y = 4 + \epsilon$.
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+所以前向自动微分比数值微分准确得多，但它遭受同样的缺陷：如果有1000个参数，那为了计算所有的偏导数，得历经计算图 1000 次。这正是反向自动微分耀眼的地方：计算所有的偏导数，它只需要经历计算图2次。
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+## 反向自动微分
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+反向自动微分是 TensorFlow 采取的方案。它首先前馈经历计算图（即，从输入到输出），计算出每个结点的值。然后进行第二次经历，这次是反向经历（即，从输出到输入），计算出所有的偏导数。图D-3展示了第二次经历的过程。在第一次经历过程中，所有结点值已被计算，输入是 $x=3, y=4$。你可以在每个结点底部右方看到这些值（例如，$x \times x = 9$）。结点已被标号，从 $n_1$ 到 $n_7$。输出结点是 $n_7: f(3, 4) = n_7 = 42$.
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+![D-3](../images/Appendix/D-3.png)
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+这个计算关于每个连续结点的偏导数的思想逐渐地从上到下遍历图，直到到达变量结点。为实现这个，反向自动微分强烈依赖于链式法则，如公式D-4所示。
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+![E_D-4](../images/Appendix/E_D-4.png)
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+由于 $n_7$ 是输出结点，即 $f= n_7$， 所以 $\frac{\partial f}{\partial n_7} = 1$.
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+接着到了图的 $n_5$ 结点：当 $n_5$ 变化时，$f$ 会变化多少？答案是 $\frac{\partial f}{\partial n_5} = \frac{\partial f}{\partial n_7} \times \frac{\partial n_7}{\partial n_5}$. 我们已经知道 $\frac{\partial f}{\partial n_7} = 1$, 因此我们只需要知道 $\frac{\partial n_7}{\partial n_5}$ 就行。因为 $n_7$ 是 $n_5 + n_6$ 的和，因此可得到 $\frac{\partial n_7}{\partial n_5} = 1$, 因此 $\frac{\partial f}{\partial n_5}=1 \times 1 = 1$.
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+现在前进到 $n_4$: 当 $n_4$ 变化时，$f$ 会变化多少？答案是 $\frac{\partial f}{\partial n_4} = \frac{\partial f}{\partial n_5} \times \frac{\partial n_5}{\partial n_4}$.  由于 $n_5 = n_4 \times n_2$， 我们可得到 $\frac{\partial n_5}{\partial n_4} = n_2$, 所以 $\frac{\partial f}{\partial n_4}= 1 \times n_2 = 4$. 
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+这个遍历过程一直持续，此时我们达到图的底部。这时我们已经得到了所有偏导数在点 $x=3, y=4$ 处的值。在这个例子里，我们得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 24, \frac{\partial f}{\partial y} = 10$. 听起来很美妙！
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+反向自动微分是非常强大且准确的技术，尤其是当有很多输入参数和极少输出时，因为它只要求一次前馈传递加上一次反向传递，就可计算所有输出关于所有输入的偏导数。最重要的是，它可以处理任意代码定义的函数。它也可以处理那些不完全可微的函数，只要  你要求他计算的偏导数在该点处是可微的。 
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+如果你在 TensorFlow 中实现了新算子，你想使它与现有的自动微分相兼容，那你需要提供函数，该函数用于构建一个子图，来计算关于新算子输入的偏导数。例如，假设你实现了一个计算其输入的平方的函数，平方算子 $f(x)= x ^2$，在这个例子中你需要提供相应的导函数 $f^{'}(x)= 2x $. 注意这个导函数不计算一个数值结果，而是用于构建子图，该子图后续将计算偏导结果。这是非常有用的，因为这意味着你可以计算梯度的梯度（为了计算二阶导数，或者甚至更高维的导数）。
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