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更新24章翻译

docs/24.md

@@ -162,10 +162,12 @@ plt.scatter(x, y, color='darkblue', s=10);
 
 **余弦相关性**
 
-我们定义![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?Y=\rhoX+\sqrt{1-\rho{^2}}Z)
+我们定义
+
+![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?Y=\rho{X}+\sqrt{1-\rho{^2}}Z)
 
 其中$X$和$Z$是独立同分布的标准正态变量。
-我们从几何上理解这个结构。一个好的起点是X和Z的联合密度，它具有圆的对称性。
+我们从几何上理解这个结构。一个好的开始是$X$和$Z$的联合密度，它具有圆的对称性。
 
 ```python
 # NO CODE
@@ -180,13 +182,13 @@ plt.title('Standard Bivariate Normal Distribution, Correlation = 0');
 
 $X$轴和$Z$轴是正交的。让我们看看如果我们扭转它们会发生什么。
 
-取任何正角度θ度并绘制与原始X轴成角度θ的新轴。每个点(X,Z)在这个轴上都有一个投影。
+取任何正角度θ度并绘制与原始X轴成角度θ的新轴，每个点(X,Z)在这个轴上都有一个投影。
 
-下图所示，点(X,Z)=(1,2)到金色轴的投影，金色轴与X轴成θ角。蓝色的部分是x的值，通过把(1,2)点向横轴上做垂线得到。这叫做投影(1,2)点到横轴上。
+下图所示，点(X,Z)=(1,2)到金色轴的投影，金色轴与$X$轴成θ角。蓝色的部分是$X$的值，通过把(1,2)点向横轴上做垂线得到，称为(1,2)点到横轴上的投影。
 
 红色部分是(1,2)点在金色轴上的投影，通过把(1,2)点向金色轴做垂线得到。
 
-在下面的单元格中改变θ的值，以查看投影在金色轴旋转时如何变化。
+在下面的单元格中改变θ的值，可以观察到投影在金色轴旋转时如何变化。
 
 ```python
 theta = 20
@@ -196,7 +198,88 @@ projection_1_2(theta)
 
 设$Y$是红色段的长度，并记住$X$是蓝色段的长度。 当θ非常小时，$Y$几乎等于$X$。当θ接近90度时，Y几乎等于Z。
 
-一点点三角法就表明了这一点：![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?Y=X\cos(\theta)+Z\sin(\theta))
+一点三角法就表明了这一点：![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?Y=X\cos(\theta)+Z\sin(\theta))
+
+```python
+projection_trig()
+```
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20190124193814982.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1Rob21hc0NhaTAwMQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70)
+
+因此
+
+![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?Y=X\cos(\theta)+Z\sin(\theta)=\rho{X}+\sqrt{1-\rho{^2}}Z)
+
+其中![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho=\cos(\theta))
+
+下面的一系列图像说明了θ为30度的转换。
+```python
+theta = 30
+projection_1_2(theta)
+```
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/2019012419504497.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1Rob21hc0NhaTAwMQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70)
+
+当原始点(X, Z)具有独立同分布的标准正态坐标时，二元正态分布是蓝色和红色长度X和Y的联合分布。此变换(X, Z)的联合密度表面的圆形轮廓成(X, Y)的联合密度表面的椭圆形轮廓。
+```python
+cos(theta), (3**0.5)/2
+>>(0.8660254037844387, 0.8660254037844386)
+```
+```python
+rho = cos(theta)
+Plot_bivariate_normal([0, 0], [[1, rho], [rho, 1]])
+plt.title('Standard Bivariate Normal Distribution, Correlation = '+str(round(rho, 2)));
+```
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20190124200025492.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1Rob21hc0NhaTAwMQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70)
+
+**小的θ**
+
+正如我们前面看到的，当θ很小，几乎对轴的位置没做任何改变时，X和Y几乎相等。
+```python
+theta = 2
+projection_1_2(theta)
+```
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20190124200532501.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1Rob21hc0NhaTAwMQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70)
+
+因此，X和Y的二元正态密度本质上受限于X=Y线。cos(θ)的相关性很大因为θ很小；它的值超过0.999。
+
+从而可以看到绘图函数是很难表示这个联合密度面的。
+```python
+rho = cos(theta)
+rho
+>>0.99939082701909576
+```
+```python
+Plot_bivariate_normal([0, 0], [[1, rho], [rho, 1]])
+```
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20190124201007761.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1Rob21hc0NhaTAwMQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70)
+
+**正交性和独立性**
+
+当θ是90度，金色轴正交于X轴，并且Y = Z（其中Z与X是独立的）。
+```python
+theta = 90
+projection_1_2(theta)
+```
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20190124201516855.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1Rob21hc0NhaTAwMQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70)
+
+当θ= 90°时，cos(θ)= 0。(X,Y)的联合密度面与(X,Z)的联合密度面相同，并具有圆的对称性。
+
+如果你把![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho{X})当作“信号”，把![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{1-\rho{^2}}Z)当作“噪音”，那么$Y$可以被认为是一个观察的值“信号加噪声”。在本章剩下的部分中，我们将看看是否能将信号与噪声分开。
+
+**二元正态的表示**
+
+当我们只处理两个变量X和Y时，矩阵表示通常是不必要的。我们将交替使用以下三种表示。
+
+- ![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X{_1})和![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X{_2})是具有![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\mu{_1},\mu{_2},\sigma{^2_1},\sigma{^2_2},\rho))参数的二元正态变量
+- 标准化变量![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X{^*_1})和![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X{^*_2})是标准的二元正态且相关性为![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho)，那么![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X{^*_2}=\rho{X{^*_1}}+\sqrt{1-\rho{^2}}Z)（其中标准正态$Z$与![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X{^*_1})是相互独立的）。这是由多元正态的定义2得出的。
+- ![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X{_1})和![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X{_2})有多元正态分布的均值向量![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?[\mu{_1}\,\mu{_2}]{^T})和协方差矩阵
+$$
+\left[
+ \begin{matrix}
+   \sigma{^2_1} & \rho\sigma{_1}\sigma{_2} \\
+   \rho\sigma{_1}\sigma{_2} & \sigma{^2_2} \\
+  \end{matrix}
+  \right]
+$$
 
 ## 02 线性最小二乘法