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@@ -207,3 +207,123 @@ kernel = np.array([[0, 1, 0],
 图 7.5：渗流模型的前三个步骤，其中`n=10`和`p=0.5`
 
 图？显示了`n = 10`和`p = 0.5`的渗流模型的前几个步骤。 非多孔细胞为白色，多孔细胞为浅色，湿细胞为深色。
+
+## 7.4 相变
+
+现在让我们测试 CA 是否包含渗流簇。
+
+```py
+
+def test_perc(perc):
+    num_wet = perc.num_wet()
+
+    num_steps = 0
+    while True:
+        perc.step()
+        num_steps += 1
+
+        if perc.bottom_row_wet():
+            return True, num_steps
+
+        new_num_wet = perc.num_wet()
+        if new_num_wet == num_wet:
+            return False, num_steps
+
+        num_wet = new_num_wet
+```
+
+`test_perc`接受`Percolation`对象作为参数。 每次循环中，它都会使 CA 前进一个时间步骤。 它检查底部那行，看看有没有湿的细胞；如果有，它返回`True`，表示存在渗透簇，以及`num_steps`，它是到达底部所需的时间步数。
+
+在每个时间步骤中，它还计算湿细胞的数量并检查自上一步以来数量是否增加。 如果没有，我们已经到达了固定点，而没有找到一个渗流簇，所以我们返回`False`。
+
+为了估计渗流簇的概率，我们生成许多随机初始状态并测试它们：
+
+```py
+
+def estimate_prob_percolating(p=0.5, n=100, iters=100):
+    count = 0
+    for i in range(iters):
+        perc = Percolation(n, p=p)
+        flag, _ = test_perc(perc)
+        if flag:
+            count += 1
+
+    return count / iters
+```
+
+`estimate_prob_percolating`使用给定的`p`和`n`值生成 100 个 CA，并调用`test_perc`来查看其中有多少个具有渗流簇。 返回值是拥有的 CA 的比例。
+
+当`p = 0.55`时，渗滤簇的概率接近于 0。`p = 0.60`时，它约为 70%，而在`p = 0.65`时，它接近于 1。这种快速转变表明`p`的临界值接近 0.6。
+
+我们可以更精确地使用随机游走来估计临界值。 从`p`的初始值开始，我们构造一个`Percolation`对象并检查它是否具有渗透簇。 如果是这样，`p`可能太高，所以我们减少它。 如果不是，`p`可能太低，所以我们增加它。
+
+这里是代码：
+
+```py
+
+def find_critical(p=0.6, n=100, iters=100):
+    ps = [p]
+    for i in range(iters):
+        perc = Percolation(n=n, p=p)
+        flag, _ = test_perc(perc)
+        if flag:
+            p -= 0.005
+        else:
+            p += 0.005
+        ps.append(p)
+    return ps
+```
+
+`find_critical`以`p`的给定值开始并上下调整，返回值的列表。 当`n = 100`时，`ps`的平均值约为 0.59，对于从 50 到 400 的`n`值，这个临界值似乎是一样的。
+
+临界值附近的行为的快速变化称为相变，类似于物理系统中的相变，例如水在冰点处从液体变为固体的方式。
+
+在处于或接近临界点时，各种各样的系统展示了一组共同的行为和特征。这些行为被统称为临界现象。 在下一节中，我们将探究其中的一个：分形几何。
+
+## 7.5 分形
+
+为了理解分形，我们必须从维度开始。
+
+对于简单的几何对象，维度根据缩放行为而定义。 例如，如果正方形的边长为`l`，则其面积为`l ** 2`。 指数 2 表示正方形是二维的。 同样，如果立方体的边长为`l`，则其体积为`l ** 3`，这表示立方体是三维的。
+
+更一般来说，我们可以通过测量一个对象的“尺寸”（通过一些定义），将对象的维度估计为线性度量的函数。
+
+例如，我将通过测量一维元胞自动机的面积（“开”细胞的总数），将它的维度估计为行数的函数。
+
+![](img/7-6.png)
+
+图 7.6：32 个时间步之后，规则为 20，50 和 18 的一维 CA。
+
+图？展示了三个一维 CA，就像我们在第？节中看到的那样。 规则 20（左）产生一组看似线性的细胞，所以我们预计它是一维的。 规则 50（中）产生类似于三角形的东西，所以我们预计它是二维的。 规则 18（右）也产生类似三角形的东西，但密度不均匀，所以其缩放行为并不明显。
+
+我将用以下函数来估计这些 CA 的维度，该函数计算每个时间步之后的细胞数。 它返回一个元组列表，其中每个元组包含`i`和`i ** 2`，用于比较，以及细胞总数。
+
+```py
+def count_cells(rule, n=500):
+    ca = Cell1D(rule, n)
+    ca.start_single()
+
+    res = []
+    for i in range(1, n):
+        cells = np.sum(ca.array)
+        res.append((i, i**2, cells))
+        ca.step()
+
+    return res
+```
+
+![](img/7-7.png)
+
+图 7.7：规则 20，50 和 18 的“开”细胞的数量与时间步数。
+
+图？展示以双对数刻度绘制的结果。
+
+在每幅图中，顶部虚线表示`y = i ** 2`。 两边取对数，我们得到`logy = 2logi`。 由于该数字在双对数刻度上，因此直线的斜率为2。
+
+同样，底部的虚线表示`y = i`。 在双对数刻度上，直线的斜率为 1。
+
+规则 20（左）每两个时间步骤产生三个细胞，所以`i`步后的细胞总数为`y = 1.5 i`。 两边取对数，我们得到`logy = log1.5 + logi`，所以在双对数刻度上，我们期待一条斜率为 1 的线。实际上，线的估计的斜率为 1.01。
+
+规则 50（中）在第`i`个时间步骤中产生`i + 1`个新细胞，因此`i`步之后的细胞总数为`y = i ** 2 + i`。 如果我们忽略第二项并取两边的对数，我们有`logy ~ 2 logi`，所以当`i`变大时，我们预计看到一条斜率为 2 的线。事实上，估计的斜率为 1.97。
+
+最后，对于规则 18（右），估计的斜率大约是 1.57，这显然不是 1，2 或任何其他整数。 这表明规则 18 生成的图案具有“分数维度”；也就是说，它是一个分形。