8.

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@@ -20,7 +20,7 @@
 
 +   一些物理量的重尾分布：例如，在冷冻的水中，晶体尺寸的分布是幂律的。
 
-+   呈现粉红噪音的时间变化。复合信号可以分解为它们的频率分量。在粉红噪声中，低频分量比高频分量功率更大。具体而言，频率`f`处的功率与`1 / f`成正比。
++   呈现粉红噪声的时间变化。复合信号可以分解为它们的频率分量。在粉红噪声中，低频分量比高频分量功率更大。具体而言，频率`f`处的功率与`1 / f`成正比。
 
 临界系统通常不稳定。例如，为了使水保持部分冷冻状态，需要主动控制温度。如果系统接近临界温度，则小型偏差倾向于将系统从一个相位移到另一个相位。
 
@@ -369,3 +369,89 @@ slope = params[0]
 严格来说，值为 3 的分形维度与 2 不可区分，但考虑到其他值的结果，线的表观曲率和图案的外观，似乎它也是分形的。
 
 本章结尾的练习之一，要求您使用不同的`n`和`level`值，再次运行此分析，来查看估计的维度是否一致。
+
+## 8.6 频谱密度
+
+提出沙堆模型的原始论文的标题是《自组织临界：1/f 噪声的解释》（Self-Organized Criticality: An Explanation of 1/f Noise）。 正如小标题所述的那样，Bak，Tang 和 Wiesenfeld 正试图解释为什么许多自然和工程系统表现出 1/f 噪声，这也被称为“闪烁噪声”和“粉红噪声”。
+
+为了了解粉红噪声，我们必须绕路来了解信号，频谱分析和噪声。
+
+信号：
+
+信号是随时间变化的任何数量。 一个例子是声音，即空气密度的变化。 在本节中，我们将探讨雪崩持续时间和大小在不同时间段内的变化。
+
+频谱分析：
+
+任何信号都可以分解为一组具有不同音量或功率的频率分量。 例如，演奏中央 C 上方的 A 的小提琴的声音，包含频率为 440 Hz 的主要分量，但它也包含较低功率分量，例如 880 Hz，1320 Hz 和其他整数倍的基频。 频谱分析是寻找构成信号的成分和它们的功率的过程，称为其频谱。
+
+噪声：
+
+在通常的用法中，“噪声”通常是一种不需要的声音，但在信号处理的情况下，它是一个包含许多频率成分的信号。
+
+噪声有很多种。 例如，“白噪声”是一个信号，它在很宽的频率范围内拥有相同功率的成分。
+
+其他种类的噪声在频率和功率之间有不同的关系。 在“红噪声”中，频率为`f`的功率为`1 / f ** 2`，我们可以这样写：
+
+```
+P(f) = 1 / f ** 2 
+```
+
+我们可以把指数 2 换成`β`来扩展它：
+
+```
+P(f) = 1 / f ** β 
+```
+
+当`β= 0`时，该等式描述白噪声; 当`β= 2`时，它描述红噪声。 当参数接近 1 时，我们将结果称为`1 / f`噪声。 更一般来说，任何介于 0 和 2 之间的噪声称为“粉红”，因为它介于白色和红色之间。
+
+那么这如何适用于沙堆模型呢？ 假设每次细胞倒塌时，它会发出声音。 如果我们在运行中记录了沙堆模型，它会是什么样子？
+
+在我的`SandPile`实现运行时，它会记录在每个时间步骤中，倒塌的细胞数量，并将结果记录在名为`toppled_seq`的列表中。 例如，在第？节中运行模型之后，我们可以提取产生的信号：
+
+```py
+signal = pile2.toppled_seq
+```
+
+为了计算信号的频谱（同样，这是它包含的频率和它们的功率），我们可以使用快速傅立叶变换（FFT）。
+
+唯一的问题是噪声信号的频谱往往是嘈杂的。 但是，我们可以通过将一个长信号分成多个段，计算每个段的 FFT，然后计算每个频率的平均功率来使其平滑。
+
+该算法的一个版本被称为“韦尔奇方法”，SciPy 提供了一个实现。 我们可以像这样使用它：
+
+```py
+
+from scipy.signal import welch
+
+nperseg = 2048
+freqs, spectrum = welch(signal, nperseg=nperseg, fs=nperseg)
+```
+
+`nperseg`是信号分解成的片段长度。 对于较长的片段，我们可以获得更多的频率成分，但由于平均的片段数较少，结果更加嘈杂。
+
+`fs`是“采样频率”，即每单位时间的信号中的数据点数。 通过设置`fs = nperseg`，我们可以得到从 0 到`nperseg / 2`的频率范围，但模型中的时间单位是任意的，所以频率并不意味着什么。
+
+返回值，`freqs`和`powers`是 NumPy 数组，包含成分的频率及其相应的功率。
+
+如果信号是粉红噪声，我们预计：
+
+```
+P(f) = 1 / f ** β 
+```
+
+对两边取对数会得到：
+
+```
+
+logP(f) = −β logf 
+```
+
+所以如果我们在双对数刻度上绘制功率与频率的关系，我们预计有一条斜率为`β`的直线。
+
+![](img/8-6.png)
+
+图 8.6：随着时间推移的倒塌细胞的功率频谱，双对数刻度
+
+图？显示结果。 对于 10 到 1000 之间的频率（以任意单位），频谱落在一条直线上。 灰线斜率为 -1.58，这对应于由 Bak，Tang 和 Wiesenfeld 报告的参数`β= 1.58`。
+
+这个结果证实了沙堆模型产生粉红噪声。
+