4.2~3

4.md

@@ -102,3 +102,118 @@ L = estimate_path_lengths(fb)
 平均路径为`3.7`，在 4000 多个用户的网络中相当短。毕竟这是一个小世界。
 
 现在让我们看看是否可以构建一个 WS 图，与此网络具有相同特征。
+
+## 4.2 WS 模型
+
+在 Facebook 数据集中，每个节点的平均边数约为 22。由于每条边都连接到两个节点，平均度是每个节点边数的两倍：
+
+```py
+
+>>> k = int(round(2*m/n))
+>>> k
+44
+```
+
+我们可以用`n=4039`和`k=44`创建一个 WS 图。`p=0`时，我们会得到一个环格。
+
+```py
+
+lattice = nx.watts_strogatz_graph(n, k, 0)
+```
+
+在这个图中，群聚较高：`C`是 0.73，而在数据集中是 0.61。但是`L`为 46，远远高于数据集！
+
+使用`p=1`我们得到一个随机图：
+
+```py
+random_graph = nx.watts_strogatz_graph(n, k, 1)
+```
+
+在随机图中，`L`是 2.6，甚至比数据集（3.7）短，但`C`只有 0.011，所以这是不好的。
+
+通过反复试验，我们发现，当`p=0.05`时，我们得到一个高群聚和短路径长度的 WS 图：
+
+```py
+
+ws = nx.watts_strogatz_graph(n, k, 0.05, seed=15)
+```
+
+在这个图中`C`是`0.63`，比数据集高一点，`L`是 3.2，比数据集低一点。所以这个图很好地模拟了数据集的小世界特征。
+
+到现在为止还不错。
+
+## 4.3 度
+
+![](img/4-1.png)
+
+> 图 4.1：Facebook 数据集和 WS 模型中的度的 PMF。
+
+回想一下，节点的度是它连接到的邻居的数量。如果 WS 图是 Facebook 网络的一个很好的模型，它应该具有相同的总（或平均）度，理想情况下不同节点的度数相同。
+
+这个函数返回图中的度的列表，每个节点对应一项：
+
+```py
+
+def degrees(G):
+    return [G.degree(u) for u in G]
+```
+
+数据集的平均度是 43.7；WS 模型的平均度是 44.到目前为止还不错。
+
+但是，WS 模型的度的标准差为 1.5；数据的标准差是 52.4。有点糟。
+
+这里发生了什么？为了更好地查看，我们必须看看度的 分布，而不仅仅是均值和标准差。
+
+我将用一个 Pmf 对象来表示度数的分布，它在`thinkstats2`模块中定义。Pmf 代表“概率质量函数”；如果你不熟悉这个概念，你可以阅读 Think Stats 第二版的第三章，网址是 <http://greenteapress.com/thinkstats2/html/thinkstats2004.html>。
+
+简而言之，Pmf 是值到概率的映射。Pmf度是每个可能的度`d`，到度为`d`的节点比例的映射。
+
+作为一个例子，我将构建一个图，拥有节点`1, 2, 3`，连接到中心节点`0`：
+
+```py
+G = nx.Graph()
+G.add_edge(1, 0)
+G.add_edge(2, 0)
+G.add_edge(3, 0)
+nx.draw(G)
+```
+
+这里是图的度列表：
+
+```py
+
+>>> degrees(G)
+[3, 1, 1, 1]
+```
+
+节点`0`度为 3，其它度为 1。现在我可以生成一个 Pmf，它表示这个度的分布：
+
+```py
+>>> from thinkstats2 import Pmf
+>>> Pmf(degrees(G))
+Pmf({1: 0.75, 3: 0.25})
+```
+
+产生的`Pmf`是一个对象，将每个度映射到一个比例或概率。在这个例子中，75％的节点度为 1，25％度为 3。
+
+现在我们生成一个`Pmf`，包含来自数据集的节点的度，并计算均值和标准差：
+
+```py
+
+>>> pmf_ws = Pmf(degrees(ws))
+>>> pmf_ws.mean(), pmf_ws.std()
+(44.000, 1.465)
+```
+
+我们可以使用`thinkplot`模块来绘制结果：
+
+```py
+thinkplot.Pdf(pmf_fb, label='Facebook')
+thinkplot.Pdf(pmf_ws, label='WS graph')
+```
+
+图（？）显示了这两个分布。他们是非常不同的。
+
+在 WS 模型中，大多数用户有大约 44 个朋友；最小值是 38，最大值是 50。这个变化不大。在数据集中，有很多用户只有 1 或 2 个朋友，但有一个人有 1000 多个！
+
+像这样的分布，有许多小的值和一些非常大的值，被称为重尾。