feat: 416 分割等和子集 (#374)

Co-authored-by: Nlucifer <azl397985856@gmail.com>

problems/416.partition-equal-subset-sum.md

-## 题目地址
+### 题目地址
 
-https://leetcode.com/problems/partition-equal-subset-sum/description/
+#### [416. 分割等和子集](https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/)
 
-## 题目描述
+### 题目描述
 
+> 给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
+>
+> 注意:
+>
+> 每个数组中的元素不会超过 100
+> 数组的大小不会超过 200
+>
+> 示例 1:
+>
+> 输入: [1, 5, 11, 5]
+>
+> 输出: true
+>
+> 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
+>
+> 示例 2:
+>
+> 输入: [1, 2, 3, 5]
+>
+> 输出: false
+>
+> 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
+
+### 思路
+
+抽象能力不管是在工程还是算法中都占据着绝对重要的位置。比如上题我们可以抽象为：
+
+**给定一个非空数组，和是 sum，能否找到这样的一个子序列，使其和为 2/sum**
+
+我们做过二数和，三数和， 四数和，看到这种类似的题会不会舒适一点，思路更开阔一点。
+
+老司机们看到转化后的题，会立马想到背包问题，这里会提供**深度优先搜索**和**背包**两种解法。
+
+### 深度优先遍历
+
+我们再来看下题目描述，sum 有两种情况，
+
+1. 如果 sum % 2 === 1, 则肯定无解，因为 sum/2 为小数，而数组全由整数构成，子数组和不可能为小数。
+2. 如果 sum % 2 === 0, 需要找到和为 2/sum 的子序列
+   针对 2，我们要在 nums 里找到满足条件的子序列 subNums。 这个过程可以类比为在一个大篮子里面有 N 个球，每个球代表不同的数字，我们用一小篮子去抓取球，使得拿到的球数字和为 2/sum。那么很自然的一个想法就是，对大篮子里面的每一个球，我们考虑取它或者不取它，如果我们足够耐心，最后肯定能穷举所有的情况，判断是否有解。上述思维表述为伪代码如下：
+
+```
+令 target = sum / 2, nums 为输入数组, cur 为当前当前要选择的数字的索引
+nums 为输入数组，target为当前求和目标，cur为当前判断的数
+function dfs(nums, target, cur)
+  如果target < 0 或者 cur > nums.length
+    return false
+  否则
+    如果 target = 0, 说明找到答案了，返回true
+    否则
+      取当前数或者不取，进入递归 dfs(nums, target - nums[cur], cur + 1) || dfs(nums, target, cur + 1)
 ```
-Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.
 
-Note:
+因为对每个数都考虑取不取，所以这里时间复杂度是 O(2 ^ n), 其中 n 是 nums 数组长度，
 
-Each of the array element will not exceed 100.
-The array size will not exceed 200.
- 
+#### javascript 实现
 
-Example 1:
+```javascript
+var canPartition = function (nums) {
+  let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0);
+  if (sum % 2) {
+    return false;
+  }
+  sum = sum / 2;
+  return dfs(nums, sum, 0);
+};
 
-Input: [1, 5, 11, 5]
+function dfs(nums, target, cur) {
+  if (target < 0 || cur > nums.length) {
+    return false;
+  }
+  return (
+    target === 0 ||
+    dfs(nums, target - nums[cur], cur + 1) ||
+    dfs(nums, target, cur + 1)
+  );
+}
+```
 
-Output: true
+不出所料，这里是超时了，我们看看有没优化空间
 
-Explanation: The array can be partitioned as [1, 5, 5] and [11].
- 
+1. 如果 nums 中最大值 > 2/sum, 那么肯定无解
+2. 在搜索过程中，我们对每个数都是取或者不取，并且数组中所有项都为正数。我们设取的数和为 `pickedSum`，不难得 pickedSum <= 2/sum， 同时要求丢弃的数为 `discardSum`，不难得 pickedSum <= 2 / sum。
 
-Example 2:
+我们同时引入这两个约束条件加强剪枝：
 
-Input: [1, 2, 3, 5]
+优化后的代码如下
 
-Output: false
+```javascript
+var canPartition = function (nums) {
+  let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0);
+  if (sum % 2) {
+    return false;
+  }
+  sum = sum / 2;
+  nums = nums.sort((a, b) => b - a);
+  if (sum < nums[0]) {
+    return false;
+  }
+  return dfs(nums, sum, sum, 0);
+};
 
-Explanation: The array cannot be partitioned into equal sum subsets.
+function dfs(nums, pickRemain, discardRemain, cur) {
+  if (pickRemain === 0 || discardRemain === 0) {
+    return true;
+  }
 
+  if (pickRemain < 0 || discardRemain < 0 || cur > nums.length) {
+    return false;
+  }
 
+  return (
+    dfs(nums, pickRemain - nums[cur], discardRemain, cur + 1) ||
+    dfs(nums, pickRemain, discardRemain - nums[cur], cur + 1)
+  );
+}
 ```
 
-## 思路
+leetcode 是 AC 了，但是时间复杂度 O(2 ^ n), 算法时间复杂度很差，我们看看有没更好的。
 
-题目要求给定一个数组， 问是否能划分为和相等的两个数组。
+### DP 解法
 
-这是一个典型的背包问题，我们可以遍历数组，对于每一个，我们都分两种情况考虑，拿或者不拿。
+在用 DFS 是时候，我们是不关心取数的规律的，只要保证接下来要取的数在之前没有被取过即可。那如果我们有规律去安排取数策略的时候会怎么样呢，比如第一次取数安排在第一位，第二位取数安排在第二位，在判断第 i 位是取数的时候，我们是已经知道前 i-1 个数每次是否取的所有子序列组合，记集合 S 为这个子序列的和。再看第 i 位取数的情况, 有两种情况取或者不取
 
-背包问题处理这种离散的可以划分子问题解决的问题很有用。
+1. 取的情况，如果 target-nums[i]在集合 S 内，则返回 true，说明前 i 个数能找到和为 target 的序列
+2. 不取的情况，如果 target 在集合 S 内，则返回 true，否则返回 false
 
-![416.partition-equal-subset-sum-1](../assets/problems/416.partition-equal-subset-sum-1.png)
+也就是说，前 i 个数能否构成和为 target 的子序列取决为前 i-1 数的情况。
 
-如果能够识别出这是一道背包问题，那么就相对容易了。
+记 F[i, target] 为 nums 数组内前 i 个数能否构成和为 target 的子序列的可能，则状态转移方程为
 
-![416.partition-equal-subset-sum-2](../assets/problems/416.partition-equal-subset-sum-2.png)
-## 关键点解析
+`F[i, target] = F[i - 1, target] || F[i - 1, target - nums[i]]`
 
-- 背包问题
+状态转移方程出来了，代码就很好写了，DFS + DP 都可以解，有不清晰的可以参考下 [递归和动态规划](../thinkings/dynamic-programming.md)，
+这里只提供 DP 解法
 
-## 代码
+#### 伪代码表示
+
+```
+n = nums.length
+target 为 nums 各数之和
+如果target不能被2整除,
+  返回false
+
+令dp为n * target 的二维矩阵, 并初始为false
+遍历0:n, dp[i][0] = true 表示前i个数组成和为0的可能
+
+遍历 0 到 n
+  遍历 0 到 target
+    if 当前值j大于nums[i]
+      dp[i + 1][j] = dp[i][j-nums[i]] || dp[i][j]
+    else
+      dp[i+1][j] = dp[i][j]
+```
+
+算法时间复杂度 O(n\*m), 空间复杂度 O(n\*m), m 为 sum(nums) / 2
+
+#### javascript 实现
 
 ```js
-/**
- * @param {number[]} nums
- * @return {boolean}
- */
-var canPartition = function(nums) {
-    let sum = 0;
-    for(let num of nums) {
-        sum += num;
+var canPartition = function (nums) {
+  let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0);
+  if (sum % 2) {
+    return false;
+  } else {
+    sum = sum / 2;
+  }
+
+  const dp = Array.from(nums).map(() =>
+    Array.from({ length: sum + 1 }).fill(false)
+  );
+
+  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
+    dp[i][0] = true;
+  }
+
+  for (let i = 0; i < dp.length - 1; i++) {
+    for (let j = 0; j < dp[0].length; j++) {
+      dp[i + 1][j] =
+        j - nums[i] >= 0 ? dp[i][j] || dp[i][j - nums[i]] : dp[i][j];
     }
+  }
+
+  return dp[nums.length - 1][sum];
+};
+```
+
+再看看有没有优化空间，看状态转移方程
+`F[i, target] = F[i - 1, target] || F[i - 1, target - nums[i]]`
+第 n 行的状态只依赖于第 n-1 行的状态，也就是说我们可以把二维空间压缩成一维
 
-    if (sum & 1 === 1) return false;
+伪代码
 
-    const half = sum >> 1;
+```
+遍历 0 到 n
+  遍历 j 从 target 到 0
+    if 当前值j大于nums[i]
+      dp[j] = dp[j-nums[i]] || dp[j]
+    else
+      dp[j] = dp[j]
+```
 
-    let dp = Array(half); 
-    dp[0] = [true, ...Array(nums.length).fill(false)];
+时间复杂度 O(n\*m), 空间复杂度 O(n)
+javascript 实现
 
-    for(let i = 1; i < nums.length + 1; i++) {
-        dp[i] = [true, ...Array(half).fill(false)];
-        for(let j = 1; j < half + 1; j++) {
-            if (j >= nums[i - 1]) {
-                dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
-            }
-        }
+```js
+var canPartition = function (nums) {
+  let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0);
+  if (sum % 2) {
+    return false;
+  }
+  sum = sum / 2;
+  const dp = Array.from({ length: sum + 1 }).fill(false);
+  dp[0] = true;
+
+  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
+    for (let j = sum; j > 0; j--) {
+      dp[j] = dp[j] || (j - nums[i] >= 0 && dp[j - nums[i]]);
     }
+  }
 
-    return dp[nums.length][half]
+  return dp[sum];
 };
+```
+
+其实这道题和 [leetcode 518](https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/) 是换皮题，它们都可以归属于背包问题
+
+## 背包问题
+
+### 背包问题描述
+
+有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 Ci，得到的
+价值是 Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
+
+背包问题的特性是，每种物品，我们都可以选择放或者不放。令 F[i, v]表示前 i 件物品放入到容量为 v 的背包的状态。
+
+针对上述背包，F[i, v]表示能得到最大价值，那么状态转移方程为
+
+```
+F[i, v] = max{F[i-1, v], F[i-1, v-Ci] + Wi}
+```
+
+针对 416. 分割等和子集这题，F[i, v]的状态含义就表示前 i 个数能组成和为 v 的可能，状态转移方程为
 
 ```
+F[i, v] = F[i-1, v] || F[i-1, v-Ci]
+```
+
+再回过头来看下[leetcode 518](https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/), 原题如下
+
+> 给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
+
+带入背包思想，F[i,v] 表示用前 i 种硬币能兑换金额数为 v 的组合数，状态转移方程为
+`F[i, v] = F[i-1, v] + F[i-1, v-Ci]`
+
+#### javascript 实现
+
+```javascript
+/**
+ * @param {number} amount
+ * @param {number[]} coins
+ * @return {number}
+ */
+var change = function (amount, coins) {
+  const dp = Array.from({ length: amount + 1 }).fill(0);
+  dp[0] = 1;
+  for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
+    for (let j = 1; j <= amount; j++) {
+      dp[j] = dp[j] + (j - coins[i] >= 0 ? dp[j - coins[i]] : 0);
+    }
+  }
+  return dp[amount];
+};
+```
+
+### 参考
 
+[背包九讲](https://raw.githubusercontent.com/tianyicui/pack/master/V2.pdf)